Как извлечь квадратный корень из многочлена?

[Ktina]

Рассмотрим следующую задачу: доказать, что уравнение $(x^2+1)(y^2+1)=z^2+1$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Заметим, что $2\cdot 5=10, \quad 5\cdot 10=50, \quad 10\cdot 17=170$.

В общем случае, $(x^2+1)((x+1)^2+1)=x^4+2x^3+3x^2+2x+2=(x^2+x+1)^2+1$, таким образом получаем бесконечное семейство решений $(n, n+1, n^2+n+1)$.


Для решения этой задачи потребовалось извлечь квадратный корень из многочлена $x^4+2x^3+3x^2+2x+1$, что я осуществила интуитивно, просто подобрав подходящее значение и проверив его верность возведением в квадрат.

Существует ли алгоритм извлечения квадратного корня из многочлена, аналогично алгоритму извлечения квадратного корня из вещественного числа?

[Keter]

Ktina, вот полный алгоритм:

Извлечь квадр. корень из первого члена; получится первый член корня.
Квадрат найденного члена вычесть из данного многочлена; составится первый остаток.
Первый член этого остатка разделить на удвоенный первый член корня; в частном получится второй член корня.
Сумму удвоенного первого члена корня со вторым умножить на второй член и произведение вычесть из первого остатка; составится второй остаток.
Первый член нового остатка разделить на удвоенный первнй член корня; в частном получится третий член корня.
Сумму удвоенного первого члена корня, удвоенного второго и третьего умножить на третий член и произведение вычесть из второго остатка; составится третий остаток.
Так продолжать далее, пока в остатке получится нуль (если действие возможно).

-- 09.06.2012, 23:29 --

(Оффтоп)

почему в таких случаях не воспользоваться интернетом, он же ведь для чего-то существует... 1-7 ссылки в Google, конечно не всегда, но проверять по-моему стоит, иногда полезно

[Ktina]

Keter в сообщении #582793 писал(а):

Ktina, вот полный алгоритм:

Извлечь квадр. корень из первого члена; получится первый член корня.
Квадрат найденного члена вычесть из данного многочлена; составится первый остаток.
Первый член этого остатка разделить на удвоенный первый член корня; в частном получится второй член корня.
Сумму удвоенного первого члена корня со вторым умножить на второй член и произведение вычесть из первого остатка; составится второй остаток.
Первый член нового остатка разделить на удвоенный первнй член корня; в частном получится третий член корня.
Сумму удвоенного первого члена корня, удвоенного второго и третьего умножить на третий член и произведение вычесть из второго остатка; составится третий остаток.
Так продолжать далее, пока в остатке получится нуль (если действие возможно).

-- 09.06.2012, 23:29 --

(Оффтоп)

почему в таких случаях не воспользоваться интернетом, он же ведь для чего-то существует... 1-7 ссылки в Google, конечно не всегда, но проверять по-моему стоит, иногда полезно

Спасибо!

(Оффтоп)

В Сети я нашла следующие ответы:
1. сложить все углы любовного треугольника и разделить по ровну)))))
2. на терку
3. через интеграл
4. Топором, только топором!
5. лопатой
6. Не могу ответить у меня тока одночлен

[Keter]

Ktina в сообщении #582797 писал(а):

Спасибо!

(Оффтоп)

В Сети я нашла следующие ответы:
1. сложить все углы любовного треугольника и разделить по ровну)))))
2. на терку
3. через интеграл
4. Топором, только топором!
5. лопатой
6. Не могу ответить у меня тока одночлен

(Оффтоп)

:D Весело, а что за сайт?

[Ktina]

Keter в сообщении #582798 писал(а):

(Оффтоп)

:D Весело, а что за сайт?

(Оффтоп)

Вот тут

[Sonic86]

Еще немного: topic33345.html
И еще где-то на AOPS мне что-то хорошее советовали, связанное с уравнением Пелля, но не найду навернное Хотя попробую...
(однако, на aops нет поиска...)
Нашел другое: http://math.stackexchange.com/questions ... a21b21-c21