Целочисленные треугольники равных периметров с равным углом

[Nikolai Moskvitin]

Добрый день! В формуле почему-то недопечатался знак корня. Не хочет вводиться :). Как только мне скажут, как ввести знак этого упрямого корня, формула станет верной.

[scwec]

Nikolai Moskvitin в сообщении #585090 писал(а):

Спасибо большое! Только поясните, что означает N? Неужели для периметра 18 существует 18 треугольников?

Это означает только то, что для заданного $\varphi$ можно найти $N$ целочисленных треугольников с одинаковыми периметрами.
При этом $N$ - любое натуральное число, а периметр заранее не фиксируется и какой получится, такой и получится, лишь бы был одинаков для всех $N$ треугольников. Если зададим другое $N$ - треугольники будут другие и другой периметр.
Как только одновременно будут заданы и $\varphi$ и периметр - это будет совершенно другая задача.
И последнее: корень квадратный - это \sqrt

[Nikolai Moskvitin]

Поскольку корень по-прежнему не хочет вводиться, возведу неравенство в квадрат :). $R^2>\frac{16\sin^4a}{27}$

[Батороев]

\sqrt {27} - $\sqrt{27}$

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! На досуге получил некоторое количество лемм, которые будут даны ниже. (среди всех лемм будут и один уже известный факт: лемма 1). Заранее прошу прощения за опущение классического: мы пришли к противоречию и т.п. Во всех случаях следует добавлять это.

Лемма 1: каждая сторона треугольника меньше его полупериметра.
Лемма 2: Целочисленный треугольник со стороной 1- равнобедренный; это может быть только треугольник с нечётным периметром.

Доказательство:

Обозначим стороны треугольника:1,m,n. Предположим, что утверждение неверно, и m не равно n. Пусть для определённости $m<n$. Тогда применим неравенство треугольника: $1+m>n$.Тогда получим систему:$n-m>0 $и $n-m<1$. Однако такое может быть только если одно из слагаемых m или n нецелое. Следовательно, наше предположение неверно, и$ m=n$, что и требовалось доказать.

Лемма 3: если у данных треугольников (равных периметров, но с разными сторонами) одна одинаковая сторона, у них не может быть равных углов.

Доказательство: совместим одинаковые стороны треугольников; заметим, что концы этой неподвижной стороны являются фокусами эллипса для множества вершин совмещённых треугольников; т.к. окружность- не эллипс, то этим углом не может быть угол, противолежащий одинаковой стороне ( т. О вписанном угле); один треугольник данного множества не содержит другой, поэтому этими углами могут быть углы, либо противолежащие только пересекающимся сторонам, либо принадлежащие сторонам только непересекающимся.$ \frac{a}{\sin{a}}=\frac{b}{\sin{b}}$; $\frac{p}{\sin{a}}=\frac{q}{\sin{c}}$;$\frac{a\sin{b}}{b}=\frac{p\sin{c}}{q}$ Тогда треугольники подобны, но они одинакового периметра, поэтому они равны. Доказано.
Лемма 4: среди равнобедренных треугольников данного множества нет двух с о
динаковыми углами.

$\frac{2b^2-a^2}{2b^2}=\frac{2q^2-r^2}{2q^2}$ и $b+a=q+r$;откуда после несложных преобразований получается:$ aq=br$, откуда $a=\frac{br}{q}$, т.е.$ \frac{br}{q}+b=q+r$, $b(\frac{r}{q}+1)=q+r$, откуда можно получить $b=q$.
Лемма 5: все основания равнобедренных треугольников данного множества имеют одинаковую чётность и включают все соответствующие элементы из множества возможных значений стороны.
Лемма 6: никакая пара треугольников данного множества не может быть получена путём увеличения двух сторон другой пары треугольников данного множества ( с меньшими сторонами) (по одной стороне от каждого треугольника) на одинаковое натуральное число. (доказана 16 июля 2012: составлено уравнение и доказано, что в таком случае либо число таких треугольников конечно, либо их вообще нет; по индукции получается, что верно второе).
Лемма 7:любой неравнобедренный треугольник можно подвергнуть такому преобразованию, что все переменные в исходном уравнении станут входить в его слагаемые как множители второй степени:p,q,r такие, что $r>q>p$ преобразуется в $p+q$, $q-p$, $r$. Действительно, $2q>p+q$, значит, так как $p+q>r$, то$ p+q+q-p=2q>r.$$(p+q)^2+(q-p)^2=2p^2+2q^2$,следовательно, $\frac{2p^2+2q^2-r^2}{2p^2-2q^2}=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{2a^2-2b^2}$, отсюда получается уравнение:
$4a^2q^2-4p^2q^2+p^2c^2-q^2c^2-a^2r^2+b^2r^2=0 $
Есть предложение сделать замену квадратов на переменные первой степени и решить жутко сложную матрицу (поправьте, если сказал глупость).
Заметим, что исходный треугольник при данном преобразовании не может быть равнобедренный, иначе будет противоречие лемме 6. Тогда, видимо, данное преобразование не объемлет всего множества чисел, зато оставляет в стороне только равнобедренные треугольники, с которыми всё проще.

С уважением, Николай

[Nikolai Moskvitin]

Добрый день!

Выражение в лемме 7 немного смахивает на формулу определителя, если преобразовать выражение так, что в левой части все коэффициенты перед переменными будут равны 1 или -1, то получим формулу для определителя квадратной матрицы третьего порядка. Даст ли это что-нибудь?
(кроме этого уравнения, ещё уравнение, задающее равенство периметров, уравнение, задающее сам периметр, и два неравенства треугольников).

С уважением, Николай

[Nikolai Moskvitin]

Посмотрел внимательнее: не соответствует формуле определителя. Это верно только для равных треугольников. Хотя, если специально установить соответствие, поставив единицу на нужное место?

[Nikolai Moskvitin]

Боюсь, что лемма 3 неверна: я забыл один случай. Сколько ни пытался доказать, до конца не удалось.

[Nikolai Moskvitin]

scwec в сообщении #584446 писал(а):

Напишите длины сторон целочисленного треугольника, один из углов которого $\frac{2\pi}{3}$.

$ 4mn-4n^2$, $m^2-4mn$, $m^2-2mn+4n^2$

[Nikolai Moskvitin]

Всё можно решить, сведя систему к уравнениям следующего вида:
$x^2+y^2=z^2$
$x=x_1y_1$
и простейшие линейные уравнения.
Сложно будет только с количеством решений (зависимость его от n).