Если быть предельно точным И.М.Виноградов "Основы Теории чисел" стр.34
Утверждение. Пусть

- произвольное положительное постояное. Доказать , что в ряде натуральных чисел существует бесчисленное множество пар

простых чисел с условием

Пусть так. Только отсюда все равно не следует, что утверждение верно для

и
для любого 
.
А никто и не говорил , что
для любого
-- 03.12.2012, 16:47 --Перехожу к доказательству
3.Сильная проблема Гольдбаха.
Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Т. Все четные числа < P , можно представить в виде суммы двух простых чисел

.
Доказательство:
Расмотрим арифметическую прогрессию

.Согласно Шнирельману Л.Г. наша прогрессия при

имеет плотность

.
При доказательстве мы будем расматривать восемь арифметических прогрессий

.
Каждое простое число

имеет вид

, где k— целое число

,

же есть одно из чисел

. Так как простых чисел существует бесконечно много, то по крайней мере для одного из указанных значений r существует бесконечно много простых чисел вида

, где

— натуральное число. Таким образом, достаточно рассмотреть для

— четного составного числа, пятнадцять следующих случаев.
1. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

или
при

имеем

2. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида
тогда

или
при

имеем
-- 03.12.2012, 16:49 --3. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

4. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

.
5. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем
-- 03.12.2012, 16:54 --6. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем

или
при

имеем

7. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем

при

имеем
-- 03.12.2012, 17:00 --8. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем

или
при

имеем

или
при

имеем

9. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем

или
при

имеем

10. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем

или
при

имеем
-- 03.12.2012, 17:13 --11. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем

или
при

имеем

12. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем

или
при

имеем

13. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

,
тогда

или
при

имеем

или
при

имеем

или
при

имеем

14. Для

Существует бесконечно много простых чисел вида при

,
тогда

или
при

имеем

или
при

имеем

или
при

имеем

15.Для

Существует бесконечно много простых чисел вида

. Пусть

— одно из
них , т.е.

, тогда

или
при

для нашего случая имеем

.
Мы расмотрели случай

, в общем виде

.
Теорема доказана.