Десять свойств выпуклой оболочки

[Dave]

(На всякий случай)

Множество $X$ называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок, т.е. $\forall \; x_1,x_2 \in X, \, \lambda \in [0,1] \colon \lambda x_1+(1-\lambda) x_2 \in X$.
Выпуклой оболочкой множества $X$ называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих $X$.

Класс $K$ подмножеств $\mathbb R^n$ назовём инвариантым, если выпуклая оболочка любого множества из $K$ также принадлежит $K$.
Являются ли в каждом конкретном $\mathbb R^n$ инвариантными следующие классы?

1. Множества, диаметр которых в точности равен заданному числу $d$.
2. $x_1,x_2,\ldots,x_m$ - какие-то фиксированные точки $\mathbb R^n$, $a$ - некоторое число. $K$ - множества, состоящие только из таких точек, сумма $m$ расстояний от которых до точек $x_i$ не превосходит $a$.
3. Открытые множества.
4. Замкнутые множества.
5. Компакты.
6. Декартовы произведения множеств из координатных подпространств. Здесь $n \geqslant 2$ и имеется ввиду, что $n$ координат каким-либо фиксированным образом разбиты на две или более групп, которые и задают координатные подпространства.
7. $f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ - некоторая непрерывная функция, $a$ - некоторое число. $K$ - множества, для всех точек $x$ которых верно неравенство $f(x)<a$.
8. Непрерывные образы отрезка.
9. Непрерывные образы прямой.
10. Дифференцируемые образы отрезка.

Примечание. В некоторых случаях ответ зависит от $n$. В случаях, в которых $K$ зависит от каких-либо параметров, кроме $n$ (части 1,2,6,7), либо докажите, что $K$ инвариантен при любом наборе задающих его параметров, либо приведите хотя бы один пример параметров и множества из $K$, когда инвариантность нарушается.

[Профессор Снэйп]

А в каком из десяти пунктов здесь "олимпиадность"? Вроде задача чисто учебная...

Ещё неплохо было бы уточнить понятие диаметра множества: это $d(X) = \sup \{ \| x - y \| : x,y \in X \}$ или что-то иное?

Ещё в пункте 10 формулировку хочу уточнить: имеются в виду образы вида $f([0,1])$, где $f$ - дифференцируемая функция?

И ещё дурацкий вопрос напоследок: может ли квадрат являться непрерывным образом отрезка? Вспоминается кривая Пеано, но ведь она просто имеет ненулевую площадь, а весь квадрат не заполняет.

[Dave]

Профессор Снэйп в сообщении #582141 писал(а):

А в каком из десяти пунктов здесь "олимпиадность"? Вроде задача чисто учебная...

Воспринимайте её как хотите. Решение некоторых частей содержит нетривиальные ходы.

Профессор Снэйп в сообщении #582141 писал(а):

Ещё неплохо было бы уточнить понятие диаметра множества: это $d(X) = \sup \{ \| x - y \| : x,y \in X \}$ или что-то иное?

Именно так, точная верхняя грань. Для пустого множества диаметр не определён и оно не принадлежит $K$ ни при каком $d$.

Профессор Снэйп в сообщении #582141 писал(а):

Ещё в пункте 10 формулировку хочу уточнить: имеются в виду образы вида $f([0,1])$, где $f$ - дифференцируемая функция?

Совершенно верно.

Профессор Снэйп в сообщении #582141 писал(а):

И ещё дурацкий вопрос напоследок: может ли квадрат являться непрерывным образом отрезка? Вспоминается кривая Пеано, но ведь она просто имеет ненулевую площадь, а весь квадрат не заполняет.

Здесь Вы ошибаетесь. О взаимно-однозначном образе отрезка речь не шла.

[Профессор Снэйп]

Dave в сообщении #582262 писал(а):

Здесь Вы ошибаетесь. О взаимно-однозначном образе отрезка речь не шла.

Пардон, я что, где-то про взаимную однозначность написал?

[gris]

Вспомнилось, как обсуждали эту (и ей подобную) кривую. Она действительно непрерывно заполняет весь квадрат, но подобное отображение нельзя сделать взаимно-однозначным. Можно лишь добиться ограничения максимальной кратности посещения точек. Для Пеано, по-моему, 4.
Только она же заполняет внутренность квадрата???

[Профессор Снэйп]

То есть получается, что в вопросе номер 8 ответ положителен при любом (конечном) $n$?

Я тоже помню, что это где-то обсуждалось.

-- Пт июн 08, 2012 20:13:14 --

gris в сообщении #582275 писал(а):

Только она же заполняет внутренность квадрата???

Часть отрезка можно употребить на обход квадрата по границе

[gris]

И то правда. Главное, не больше половины отрезка.

[Профессор Снэйп]

Вот такая тема была

[Dave]

Профессор Снэйп в сообщении #582269 писал(а):

Dave в сообщении #582262 писал(а):

Здесь Вы ошибаетесь. О взаимно-однозначном образе отрезка речь не шла.

Пардон, я что, где-то про взаимную однозначность написал?

То, о чём Вы говорили здесь

Профессор Снэйп в сообщении #582141 писал(а):

Вспоминается кривая Пеано, но ведь она просто имеет ненулевую площадь, а весь квадрат не заполняет.

касается как раз простых дуг (кривых Жордана), а не кривой Пеано.

gris в сообщении #582275 писал(а):

Вспомнилось, как обсуждали эту (и ей подобную) кривую. Она действительно непрерывно заполняет весь квадрат, но подобное отображение нельзя сделать взаимно-однозначным. Можно лишь добиться ограничения максимальной кратности посещения точек. Для Пеано, по-моему, 4.
Только она же заполняет внутренность квадрата???

Цитата:

Цитата из Википедии. Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта ниже содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).

[Профессор Снэйп]

Dave в сообщении #582281 писал(а):

То, о чём Вы говорили здесь

Вспоминается кривая Пеано, но ведь она просто имеет ненулевую площадь, а весь квадрат не заполняет.
касается как раз простых дуг (кривых Жордана), а не кривой Пеано.

Если честно, то я немного ошибся с терминологией. Писал про кривую Пеано, а представлял себе коврик Серпинского.

Но даже несмотря на это не стоит приписывать мне то, чего я не утверждал. Спросил я буквально следующее:

Профессор Снэйп в сообщении #582141 писал(а):

И ещё дурацкий вопрос напоследок: может ли квадрат являться непрерывным образом отрезка?

Есть в этом вопросе хоть какой-то намёк на "взаимную однозначность"?

[Dave]

Не стоит передёргивать. Ответ относился к фразе целиком

Dave в сообщении #582262 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #582141 писал(а):

И ещё дурацкий вопрос напоследок: может ли квадрат являться непрерывным образом отрезка? Вспоминается кривая Пеано, но ведь она просто имеет ненулевую площадь, а весь квадрат не заполняет.

Здесь Вы ошибаетесь. О взаимно-однозначном образе отрезка речь не шла.

Ответ: да, может. И именно кривая Пеано заполняет весь квадрат, включая его границу. Считайте, что фраза о взаимной однозначности комментирует условие задачи, а не Ваш вопрос.

Не знаю причём здесь ковёр Серпинского, я думал о совсем другом примере, имея ввиду взаимно-однозначный образ отрезка, вложенный в квадрат и имеющий положительную меру (и даже сколь угодно близкую к площади квадрата).

[Профессор Снэйп]

Короче, долой все эти мелочные разборки: кто что сказал, кто что не говорил...

На восьмой вопрос ответ "да" и не зависит от $n$. Правильно?

[Dave]

Профессор Снэйп в сообщении #582291 писал(а):

На восьмой вопрос ответ "да" и не зависит от $n$. Правильно?

Правильно.

(Оффтоп)

Не разборок ради, а просто как сам по себе интересный пример (впрочем, не нужный для решения этой задачи), см. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. "Контрпримеры в анализе", пример 10 в главе 10. Пример 6 в той же главе - как раз кривая Пеано, полезная в решении п. 8.

[мат-ламер]

На пункт 4 ответ - нет. Пример в $R^2$: начало координат (одна точка) и одна ветвь гиперболы $xy=1$.

-- Пт июн 08, 2012 20:43:32 --

На пункт 5 ответ - да. Выпуклая оболочка компакта - это выпуклая оболочка суммы $n+1$ экземпляров этого компакта, делённая на $n+1$. Здесь используется теорема, что в конечномерном пространстве любая точка из выпуклая оболочки множества есть выпуклая оболочка конечного числа ($n+1$) точек из этого множества. Далее сумма компактов есть компакт. (Подробности не помню, но вроде сумма компактов есть проекция произведения).

-- Пт июн 08, 2012 20:48:30 --

В пункте 3 ответ - да. Выпуклая оболочка открытого множества - это сумма, и следовательно объедение семейства открытых множеств и само открыто.

-- Пт июн 08, 2012 20:53:01 --

В первых двух пунктах естественно врспользоваться свойством выпуклости нормы. Но это только идея. Без бумаги подробности не просматриваются.

-- Пт июн 08, 2012 20:58:12 --

Седьмой пункт не понял. Функция $f$ должна быть одна и та же для множества и его выпуклой оболочки? Если да, то ответ очевидно нет для произвольной функции (хотя для квазивыпуклой - да). Если нет, то ответ очевидно - да.

[Dave]

мат-ламер в сообщении #582329 писал(а):

На пункт 4 ответ - нет. Пример в $R^2$: начало координат (одна точка) и одна ветвь гиперболы $xy=1$.

Мой пример - график функции $y=\frac 1 {1+|x|}$.

мат-ламер в сообщении #582329 писал(а):

Выпуклая оболочка компакта - это выпуклая оболочка суммы $n+1$ экземпляров этого компакта, делённая на $n+1$.

Это неверно. Пусть есть компакт на плоскости, состоящий из 3 вершин некоторого треугольника. Взяв сумму, делённую на $3$, мы получим разве что центр тяжести этого треугольника. Даже если одна и та же точка может повторяться в тройке, ничего путного мы не получим.

мат-ламер в сообщении #582329 писал(а):

Здесь используется теорема, что в конечномерном пространстве любая точка из выпуклая оболочки множества есть выпуклая оболочка конечного числа ($n+1$) точек из этого множества.

А это уже ближе к истине. Называется теорема Каратеодори о выпуклой оболочке.

мат-ламер в сообщении #582329 писал(а):

Далее сумма компактов есть компакт. (Подробности не помню, но вроде сумма компактов есть проекция произведения).

мат-ламер в сообщении #582329 писал(а):

В пункте 3 ответ - да. Выпуклая оболочка открытого множества - это сумма, и следовательно объедение семейства открытых множеств и само открыто.

Ничего не понял. Что такое сумма множеств?

мат-ламер в сообщении #582329 писал(а):

Седьмой пункт не понял. Функция $f$ должна быть одна и та же для множества и его выпуклой оболочки? Если да, то ответ очевидно нет для произвольной функции (хотя для квазивыпуклой - да). Если нет, то ответ очевидно - да.

$f$ одна и та же. Этот пункт несложен. Можно даже привести пример с бесконечно дифференцируемой $f$.