2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Непрерывные функции
Сообщение16.07.2009, 13:02 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
1) Существует ли непрерывная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, у которой множество точек, имеющих континуальный прообраз, континуально?

2) Если да, то существует ли непрерывная сюрьекция из $\mathbb{R}$ на $\mathbb{R}^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение16.07.2009, 16:47 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Насчет 1) - вряд ли есть непрерывная функция, у которой есть множество точек, имеющих континуальный прообраз. Функция же непрерывна, значит все такие точки отделимы друг от друга - каждую отдельно можно положить в интервал ненулевой длины, не пересекающийся с другими, а таких множество таких интервалов счетно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение16.07.2009, 16:49 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Sonic86 в сообщении #229465 писал(а):
вряд ли есть непрерывная функция, у которой есть множество точек, имеющих континуальный прообраз.


Это я не понял. Бессмыслица какая-то написана.

-- Чт июл 16, 2009 19:52:14 --

Sonic86 в сообщении #229465 писал(а):
Функция же непрерывна, значит все такие точки отделимы друг от друга - каждую отдельно можно положить в интервал ненулевой длины, не пересекающийся с другими, а таких множество таких интервалов счетно.


Где Вы используете континуальность прообразов? И почему Ваше "возражение" не годится для функции $f(x)=x$? У каждой точки из $\mathbb{R}$ есть прообраз, любая пара прообразов отделима друг от друга, не так ли?.. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение16.07.2009, 17:12 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
1) Есть непрерывная функция $f: [0,1] \to [0,1]$, у которой прообраз каждой точки континуален. Построение только довольно хитрое... сейчас не вспомню. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение16.07.2009, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
id в сообщении #229482 писал(а):
1) Есть непрерывная функция $f: [0,1] \to [0,1]$, у которой прообраз каждой точки континуален. Построение только довольно хитрое... сейчас не вспомню. :?
Достаточно взять абсциссу кривой Пеано (непрерывное отображение отрезка на квадрат; из таких кривых, кстати, можно слепить решение задачи 2).
И вообще, вроде бы есть теорема, что типичная непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$ принимает каждое своё значение континуум раз (т.е. остальные непрерывные функции образуют тощее множество в стандартной топологии).

 Профиль  
                  
 
 Кривая Пеано?
Сообщение17.07.2009, 22:56 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано?
Сообщение29.07.2009, 14:37 


29/04/08
20
Новосибирск
"на" $R^2$ по-видимому. Тогда не существует.
Образ отрезка при таком отображении не содержит внутренних точек. По теореме Бэра плоскость не является объединением счётного числа нигде не плотных множеств, а прямая является объединением счётного числа отрезков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано?
Сообщение29.07.2009, 22:55 
Заслуженный участник


14/01/07
787
В.П. в сообщении #231766 писал(а):
Образ отрезка при таком отображении не содержит внутренних точек.
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение30.07.2009, 02:41 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Темы склеили. И, похоже, правильно.

Я, кстати, тоже не понял, почему если $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ --- непрерывная биекция, то множество $f([0,1])$ должно иметь пустую внутренность. Хотя...

Было бы здорово, если б из биективности $f$ удалось бы вывести, что $f$ гомеоморфизм, тогда бы все вопросы сразу отпали. Для этого достаточно доказать, что образ любого замкнутого множества замкнут. Пусть $C \subseteq \mathbb{R}$ замкнуто. Если $C$ ограничено, то $f(C)$ действительно замкнуто, ибо непрерывный образ компакта есть компакт. А вот если $C$ не ограничено... Не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение30.07.2009, 06:08 


29/04/08
20
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #231937 писал(а):
Если $C$ ограничено, то $f(C)$ действительно замкнуто, ибо непрерывный образ компакта есть компакт.

Вот Вы сами и ответили почему образ отрезка при непрерывном взаимно однозначном соответствии не содержит внутренних точек. На отрезке это отображение - гомеоморфизм и свойство быть или не быть линейно связным должно сохраняться при выбрасывании точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение30.07.2009, 08:09 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
В.П. в сообщении #231946 писал(а):
Вот Вы сами и ответили почему образ отрезка при непрерывном взаимно однозначном соответствии не содержит внутренних точек. На отрезке это отображение - гомеоморфизм и свойство быть или не быть линейно связным должно сохраняться при выбрасывании точек.


Теперь понял, спасибо. Про нарушение линейной связности как-то сразу не подумал.

Кстати, где-то вроде читал, что любая кривая Пеано (в смысле непрерывная сюрьекция $[0,1]$ на $[0,1]^2$) должна иметь кратность точек не меньше трёх. То есть каждая точка квадрата должна являться образом не менее чем трёх других точек. Но помню это смутно. Возможно, что-то и напутал...

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение30.07.2009, 15:30 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Кривую Пеано вроде как и для обоснования утвердительного ответа в оставшемся п. 2) можно использовать. Покрывать плоскость квадратиками, "раскручиваясь по спирали" от центра ( геометрически понятно, соединить соседние тоже можно ).
Может, есть более элегантное построение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение02.08.2009, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
RIP в сообщении #229500 писал(а):
И вообще, вроде бы есть теорема, что типичная непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$ принимает каждое своё значение континуум раз (т.е. остальные непрерывные функции образуют тощее множество в стандартной топологии).

Не каждое значение, конечно же, а каждое, кроме минимального и максимального :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение30.08.2009, 03:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Хорхе в сообщении #232521 писал(а):
RIP в сообщении #229500 писал(а):
И вообще, вроде бы есть теорема, что типичная непрерывная функция $f\colon[0;1]\to\mathbb R$ принимает каждое своё значение континуум раз (т.е. остальные непрерывные функции образуют тощее множество в стандартной топологии).

Не каждое значение, конечно же, а каждое, кроме минимального и максимального :)

Вроде бы каждое. Но я про теорему слышал только краем уха, так что наверняка не скажу. А почему "конечно же"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывные функции
Сообщение02.09.2009, 20:46 


28/08/09
37
Профессор Снэйп в сообщении #229384 писал(а):
1) Существует ли непрерывная функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, у которой множество точек, имеющих континуальный прообраз, континуально?

2) Если да, то существует ли непрерывная сюрьекция из $\mathbb{R}$ на $\mathbb{R}^2$?


Кривая Пеано - непрерывная биекция $f: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{K}$, где $\mathbb{K}$ - открытый квадрат на плоскости.
Также существует непрерывная биекция $g: \mathbb{K}\mapsto \mathbb{R}^2$, а именно: если точки квадрата представить в виде декартовых координат
$\frac{-\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\\$$\frac{-\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$, то $g: x\mapsto tg(x); \quad y\mapsto tg(y)$ биективно отображает квадрат на плоскость.
То есть, $f\circ g$ - непрерывная биекция $\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}^2$ и на 2) - ответ "да".
Если нигде не ошибся...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group