Описать факторгруппу

[Kefir4ik]

Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа всех обратимых диагональных матриц второго порядка (относительно сложения), H состоит из матриц с равными диагональными компонентами.

Я решила так:
$f: G\to R$
$\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}\to a-b$

$H=\operatorname{Ker}(f)\Rightarrow G/H$ изоморфно $\operatorname{Im}(f)=R$

Но в этом решении никак не учитывается то что матрицы обратимы. И вообще я не очень уверена что оно правильное, потому что как то легко. Подскажите пожалуйста что тут не так?

[dikiy]

а что Вы имеете в виду под словом описать?

Можно ведь описать и просто указав по одному представителю каждого класса эквивалентности.

Я б сказал, в данном случае это даже проще.

-- 27.05.2012, 14:25 --

да и вообще, что-то тут не так. Может все таки группа относительно умножения? Потому что в случае группы по сложению нейтральным элементом такой группы должна быть нулевая матрица. А она, говоря по определению, не обратима.

[Kefir4ik]

а какие тут классы эквивалентности?

[Sonic86]

Kefir4ik, Вас пока минуло бдительное око модератора, но Вы все-таки научитесь набирать формулы ЛаТеХом:
topic183.html
Вам понравится

Kefir4ik в сообщении #577171 писал(а):

G - группа всех обратимых диагональных матриц второго порядка (относительно сложения)

Вообще-то $G$ не группа. Нейтральный элемент по сложению - $\binom{0 \ 0}{0 \ 0}$, он необратим.
upd: либо, если мы говорим об обратимости матриц по сложению, то слово "обратимый" писать не нужно, т.к. необратимых по сложению матриц нету.
Уточните, пожалуйста, задание.

[dikiy]

Kefir4ik в сообщении #577182 писал(а):

а какие тут классы эквивалентности?

ну к примеру $\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ будет представителем класса эквивалентности всех элементв группы, разница на диагонали которых равна 2.

-- 27.05.2012, 14:35 --

Цитата:

Но в этом решении никак не учитывается то что матрицы обратимы. И вообще я не очень уверена что оно правильное,

правильное, если выбросить из условия слово обратимые.

[Kefir4ik]

Ой точно ведь это не группа. Видимо мой преподаватель ошибся с условием. Скорее всего он имел в виду относительно умножения, а это я уже сама решила. Спасибо всем

-- 27.05.2012, 20:07 --

А еще такой вопросик: элементы из ядра должны отображаться в 0 или в нейтральный элемент(в данном случае в 1 если группа относительно умножения)?

[dikiy]

если это гомоморфизм, то он должен удовлетворять условию $\phi(x\circ y)=\phi(x)\circ \phi(y)$

Отсюда следует ответ на Ваш вопрос.

[Day]

Цитата:

(относительно сложения)

Меня на протяжении чтения этого топика не покидало ощущение, что здесь описка. Все-таки скорее, умножения, а то все как-то бессмысленно...
А по сложению нулевая матрица вполне обратима, она сама себе обратна. Как и единичная по умножению.

-- Вс май 27, 2012 23:25:05 --

Цитата:

Опишите факторгруппу группы G по подгруппе H: G - группа всех обратимых диагональных матриц второго порядка (относительно сложения), H состоит из матриц с равными диагональными компонентами.

Извиняюсь за невнятность предыдущего моего поста, но она не более невнятна, чем приведенная цитата.
Обратимых - в смысле имеющих определитель не равный нулю ? Но по сложению это и не группа вовсе. Операция сложения на этом коллективе не определена. Во всяком случае, классическая.