Тройная дуэль

[Yu_K]

http://www.lektorium.tv/lecture/?id=13001 - вот лекция про которую писал выше... правда качество звука не очень... но можно статьи автора поискать.

Цитата:

Дуэль n лиц

В работе [Kilgour, D. Marc The Simultaneous Truel. International Journal of Game Theory 1, 4, 229–242 (1972).] рассмотрена следующая игра «Дуэль трёх лиц (the truel)". Трое стоят в вершинах правильного треугольника и несколько раз одновременно стреляют друг в друга, выбирая себе жертву когда их трое (игра заканчивается либо с последним патроном, либо когда в живых не более одного игрока). Показано, что при достаточно общих предположениях наибольшие шансы на выживание имеет самый неточный стрелок. Мы обобщаем данную ситуацию на несколько игроков, отклоняясь от пространственной интерпретации происходящего, а также вводя возможность «пропускать ход» и предполагая неограниченное количество патронов. В игре трёх лиц показано, что стрельбы в воздух (=пропуска хода) в равновесии никогда не будет наблюдаться, а в общей игре n лиц (the nuel) верен принцип однократного отклонения для стационарных равновесий. Из этого принципа мы выводим общий вид равновесий в игре n лиц с одинаковой меткостью игроков.

[lka76]

venco в сообщении #576235 писал(а):

Давайте только зафиксируем что первым стреляет p, чтобы использовать это решение в тройном случае. И выражение лучше упростить, вы ведь не будете суммировать бесконечный ряд?

если p стреляет первым то
$P_p=p +(1-p)\cdot (1-q) \cdot p +\cdots = p \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty {((1-q) \cdot (1-p))^i} $
а вот что тут можно упростить не понимаю...
если только брать первые $i$

[venco]

lka76 в сообщении #577627 писал(а):

venco в сообщении #576235 писал(а):

Давайте только зафиксируем что первым стреляет p, чтобы использовать это решение в тройном случае. И выражение лучше упростить, вы ведь не будете суммировать бесконечный ряд?

если p стреляет первым то
$P_p=p +(1-p)\cdot (1-q) \cdot p +\cdots = p \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty {((1-q) \cdot (1-p))^i} $
а вот что тут можно упростить не понимаю...
если только брать первые $i$

Формулы суммы геометрической прогрессии знаете?

[lka76]

venco в сообщении #577630 писал(а):

lka76 в сообщении #577627 писал(а):

venco в сообщении #576235 писал(а):

Давайте только зафиксируем что первым стреляет p, чтобы использовать это решение в тройном случае. И выражение лучше упростить, вы ведь не будете суммировать бесконечный ряд?

если p стреляет первым то
$P_p=p +(1-p)\cdot (1-q) \cdot p +\cdots = p \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty {((1-q) \cdot (1-p))^i} $
а вот что тут можно упростить не понимаю...
если только брать первые $i$

Формулы суммы геометрической прогрессии знаете?

$P_p=\frac {p} {1-(1-q) \cdot (1-p)}= \frac {p} {p+q - p \cdot q}$
$P_q=\frac {q} {p+q - p \cdot q}$

[lka76]

Yu_K в сообщении #577608 писал(а):

http://www.lektorium.tv/lecture/?id=13001 - вот лекция про которую писал выше... правда качество звука не очень... но можно статьи автора поискать.

в общем лекция интересная.. (не успел оставшиеся 2 прослушать) , но тут только Мат постановка общей задачи и пара примеров стратегий для $N=2$
кроме того там рассмотрены ситуации "одновременной" стрельбы т.е теоретически 1 человека может убить $K$ пуль $1<=K<N$ ...
для ситуации $N=3$ рассмотрены 2 равновесных состояния
1) дуэль "сильных" и стрельба "слабого" в одного из сильных почему то лучше чем дуэль "сильных" и стрельба "слабого" в воздух..
2) "круг по часовой стрелке" -- не совсем понимаю почему не может быть "против часовой стрелки"
при этом в случае по очередной стрельбы однозначно выгодно стрелять в воздух всем 3
$x , y, z $ стреляют $ x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow x \cdots $
$P_x=x \cdot (1-z) + (1-x) \cdot (y + (1-y) \cdot (1-z))= x \cdot (1-z) + (1-x) \cdot (1-z +z \cdot y) = x \cdot (1-z) +(1-x) \cdot (1-z) +(1-x) \cdot y \cdot z = 1-z + (1-x) \cdot y \cdot z$
при стрельбе в овздух $P_p^v =y +(1-y) \cdot (1-z) = 1-z +zy$
очевидно, что $P_p <= P_p^v$ для любых $x y z$

из этого можно сделать вывод что стратегии при одновременной стрельбе абсолютно другие...

[Yu_K]

Цитата:

Каждый из 100 ковбоев наугад прицелился в одного из остальных. Потом они начинают по очереди стрелять: на К-м шаге К-тый ковбой стреляет, если он еще жив и мишень еще жива. Убивает, конечно.
Каково матожидание числа оставшихся в живых?

Такая вот еще задача вспомнилась от Дмитрия фон-дер-Флааса.