Тройная дуэль

[lka76]

3 человека стреляются на дуэли, стреляют по очереди (жребий) вероятность попаданий$X=0.9, Y=0.8, Z=0.1$требуется определить стратегию каждого.
на мой взгляд $Z$ должен стрелять в воздух пока все живы...
но вот в доказательстве у меня проблема..
1 часть (пытаюсь доказать что $Z$ выгодно стрелять в воздух .
рассмотрим каждого
$x_1 \rightarrow x$ стреляет первым рассмотрим 3 варианта
1. Стреляет в $Y$ (попадает и $Z$ промахивается в $X$) либо (промах и ситуация переходит в $X_3$)
2. Стреляет в $Z$ (попадает и $Y$ промахивается в $X$) либо (промах и ситуация переходит в $X_3$)
3. Стреляет в воздух эквивалентно ситуация $X_3$
$x_1 =\max \begin{pmatrix} x\cdot(1-z) +(1-x)\cdot x_3 \\ x\cdot(1-y) + (1-x)\cdot x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} = x\cdot \max \begin{pmatrix} 1-z \\ 1-y \\ x_3\end{pmatrix} + (1-x) \cdot x_3 = 0.9\cdot \max \begin{pmatrix} 0.9 \\ 0.2 \\ x_3 \end{pmatrix} + 0.1\cdot x_3 = 0.9\cdot\max \begin{pmatrix} 0.9 \\ x_3 \end{pmatrix}+ 0.1\cdot x_3 $

$X$ таким образом либо стреляет в $Y$либо в воздух
аналогично
$y_1=0.8\cdot\max \begin{pmatrix} 0,9 \\ y3 \end{pmatrix} + 0.2\cdot y_3$

$Y$ таким образом либо стреляет в $X$либо в воздух
$z_1=0.1\cdot\max \begin{pmatrix} 0,2 \\ z3 \end{pmatrix} + 0.9\cdot z_3$

$Z$ таким образом либо стреляет в $X$ либо в воздух
переходим к стратегиям вторых стрелков
$X_2^y$ \rightarrow перед $X$ стрелял $Y$
$X_2^y=0.2 \cdot X_1$ или $X_2^y=X_1$
$X_2^z=0.9 \cdot X_1$ или $X_2^z=X_1$
$Y_2^x=0.1 \cdot Y_1$ или $Y_2^x=Y_1$
$Y_2^z=Y_1$ т.к. $Z$ не стреляет в $Y$
$Z_2=Z_1$ т.к. $X$ и $Y$ стреляют друг в друга или в воздух
стратегии третьих стрелков (верхний индекс - первый стрелок)
$X_3^y=0.2 \cdot X_2^z$ или $X_3^y=X_2^z$
$X_3^z=0.9 \cdot X_2^y$ или $X_3^z=X_2^y$
в зависимости от стратегий $YZ$
$X_3=\begin{pmatrix} 0.18 \cdot X_1 \\ 0.2 \cdot X_1 \\ 0.9 \cdot X_1 \\ X_1 \end{pmatrix} $
т.к $Z$ не стреляет в $Y$
$Y_3=0.1 \cdot Y_1$
т.к в $Z$ не стреляет ни кто $Z_3=Z_1$
получаем что $Z$ может стрелять в воздух от этого вероятность выживания не ухудшиться...

-- 24.05.2012, 12:59 --

часть 2
посчитаем все вероятности.
вся дуэль сводится к дуэли $XY$ и победитель дуэлиться с $Z$ при этом у $Z$ первый выстрел вне зависимости кто победит
$X_1=\max \begin{pmatrix} 0.9+0.1 \cdot X_2 \\ X_2\end{pmatrix}$
$Y_1=\max \begin{pmatrix} 0.8+0.2 \cdot Y_2 \\ Y_2\end{pmatrix}$
$X_2=\min \begin{pmatrix} 0.2 \cdot X_1 \\ X_1\end{pmatrix}=0.2 \cdot X_1$
$Y_2=\min \begin{pmatrix} 0.1 \cdot Y_1 \\ Y_1\end{pmatrix}=0.1 \cdot Y_1$
получается в воздух им стрелять не выгодно..
рассчитаем вероятности выжить $X$ перестрелке $XZ$
$P_{xz}=0.9 \cdot 0.9 + 0.9 \cdot 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.9 +\cdots = 0.81 \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty 0.09^i = 0.81 \cdot 1.0989= 0,890109 $
аналогично
$P_{yz}= 0.64 \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty 0.08^i =0.64 \cdot 1.08696=0,6956544 $
рассчитаем вероятности выживания $X$ в перестрелке $XY$ верхний индекс показывает каким по счету стреляет $X$
$P^1_{xy}=0.9+0.1 \cdot 0.2 \cdot 0.9+ \cdots =0.9*\sum \limits_{i=0}^\infty 0,02^i =0.9 \cdot 1.02041=0,918369 $
$P^2_{xy}=0.2*P^1_{xy}$
т.к очередность выбирается случайно, то
$P{xy}=0.5 \cdot P^1_{xy}+0.5 \cdot P^2_{xy}=0.5 \cdot 1.2 \cdot P^1_{xy}=0,5510214 $
высчитываем общую вероятность выжить одному из стрелков
$P_x=P_{xy} \cdot P{xz}=0,4904691073326$
$P_y=(1-P_{xy}) \cdot P_{yz}=0,31233393859584 $
$P_z=1-P_x-P_y=0,19719695407156$
получил $P_z<0.2$ т.е если бы он стрелял в $X$ он бы выживал с вероятностью $ не меньше 0.2$ получил противоречие...

не могу понять где не ошибся..

[photon]

lka76 в сообщении #575461 писал(а):

не могу понять где не ошибся..

В выборе раздела, точно. Переношу

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[мат-ламер]

Вот тут любопытно задачу обобщить и попробовать решить её для любых вероятностей ( с суммой единица). А в числах очень легко ошибиться.

[venco]

lka76 в сообщении #575461 писал(а):

получил $P_z<0.2$ т.е если бы он стрелял в $X$ он бы выживал с вероятностью $ не меньше 0.2$

А, собственно, почему?
Если у нас остались Y и Z, и Y стреляет первым, то Z выживает с вероятностью сильно меньше 0.2.

[lka76]

venco в сообщении #575786 писал(а):

lka76 в сообщении #575461 писал(а):

получил $P_z<0.2$ т.е если бы он стрелял в $X$ он бы выживал с вероятностью $ не меньше 0.2$

А, собственно, почему?
Если у нас остались Y и Z, и Y стреляет первым, то Z выживает с вероятностью сильно меньше 0.2.

если у нас остались $Y$ и $Z$ значит предыдущим выстрелом $Y$ убил $X$ и сейчас очередь стрелять $Z$ именно для этого $Z$ стреляет в воздух т.е стреляя первым в выжившего противника он увеличивает шанс выжить самому...

[venco]

lka76 в сообщении #575975 писал(а):

venco в сообщении #575786 писал(а):

lka76 в сообщении #575461 писал(а):

получил $P_z<0.2$ т.е если бы он стрелял в $X$ он бы выживал с вероятностью $ не меньше 0.2$

А, собственно, почему?
Если у нас остались Y и Z, и Y стреляет первым, то Z выживает с вероятностью сильно меньше 0.2.

если у нас остались $Y$ и $Z$ значит предыдущим выстрелом $Y$ убил $X$ и сейчас очередь стрелять $Z$ именно для этого $Z$ стреляет в воздух т.е стреляя первым в выжившего противника он увеличивает шанс выжить самому...

Стоп, вы же как раз сравниваете со стратегией стрелять в X самому. В этом случае Y будет стрелять первым.
Кстати, даже если Z стреляет первым, всё равно вероятность выжить у него будет лишь чуть-чуть больше 0.1, так что у вас, похоже, всё неправильно посчитано...
Посчитайте для начала вариант двух дуэлянтов, с вероятностями попадания p и q.

[lka76]

мат-ламер в сообщении #575782 писал(а):

Вот тут любопытно задачу обобщить и попробовать решить её для любых вероятностей ( с суммой единица). А в числах очень легко ошибиться.

обобщить сложно...
допустим все 3 "снайперы" $Y=X=Z=1$, тогда все 3 будут стрелять в воздух т.к. первый кто кого-то убъёт 100% умрет сам.

в остальных случаях я бы сказал так
"самый слабый" ждет ("благоприятного момента") и получает "право первого выстрела"

[lka76]

venco в сообщении #575978 писал(а):

Стоп, вы же как раз сравниваете со стратегией стрелять в X самому. В этом случае Y будет стрелять первым.
Кстати, даже если Z стреляет первым, всё равно вероятность выжить у него будет лишь чуть-чуть больше 0.1, так что у вас, похоже, всё неправильно посчитано...
Посчитайте для начала вариант двух дуэлянтов, с вероятностями попадания p и q.

Пусть $Z$ стреляет первым в $Y$
тогда вероятность выжить сумма вероятностей убить $Y$ в каждом следующем круге
$P_z^0=0.1$
$P_z^1=0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.1$
$P_z^i=0.1 \cdot 0.18^i$
$P_z=0.1 \cdot \sum\limits_{i=0}^{\infty} 0.18^i$
честно сам не считал пользовался онлайн калькуляторами..
$P_z=0.1 \cdot 1.21951 = 0.12$

понял
1 ошибся в вычислении $P_{zy}=0.9 \cdot 0.8 + 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.9 \cdot 0.8 + \cdots = 0.72 \cdot \sum\limits_{i=0}^{\infty} 0.18^i = 0.72 \cdot 1.21951=0,8780472$
соответственно $P_y=(1-P_{xy}) \cdot P_{yz}=0,39422440258992$
$P_z=1-P_x-P_y=0,11530649007748$
2 ошибся в оценке $P_z>=0.1 \cdot \max({0.2 ; z_3})>=0.02$
т.о $Z$ стреляя в воздух увеличивает шансы выжить почти в 6 раз..

[Yu_K]

(Оффтоп)

http://swsys.ru/index.php?page=article&id=1374 и есть виделекция в сети где-то по этой задаче - можно поискать и там ссылочки на публикации были. И по идее правильное название не дуэль - а триэль

[venco]

lka76 в сообщении #575984 писал(а):

venco в сообщении #575978 писал(а):

Посчитайте для начала вариант двух дуэлянтов, с вероятностями попадания p и q.

Пусть $Z$ стреляет первым в $Y$
тогда вероятность выжить сумма вероятностей убить $Y$ в каждом следующем круге
$P_z^0=0.1$

Вы можете вывести выражение вероятности победы, используя переменные p и q?

[lka76]

venco в сообщении #575988 писал(а):

lka76 в сообщении #575984 писал(а):

venco в сообщении #575978 писал(а):

Посчитайте для начала вариант двух дуэлянтов, с вероятностями попадания p и q.

Пусть $Z$ стреляет первым в $Y$
тогда вероятность выжить сумма вероятностей убить $Y$ в каждом следующем круге
$P_z^0=0.1$

Вы можете вывести выражение вероятности победы, используя переменные p и q?

$P_p^2 = (1-q) \cdot P_p^1$ если выбор первого выстрела случайный то $P_p=0.5 \cdot P_p^1+ 0.5 \cdot P_p^2=0.5 \cdot (1+(1-q)) \cdot P_p^1 = (1-0.5 \cdot q) \cdot P_p^1$
$P_p^1=p +(1-p)\cdot (1-q) \cdot p +\cdots = p \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty {((1-q) \cdot (1-p))^i} $
$P_p=(1-0.5 \cdot q) \cdot p \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty {((1-q) \cdot (1-p))^i} = (p-0.5 \cdot p \cdot q) \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty {((1-q) \cdot (1-p))^i}$
$P_q= (q-0.5 \cdot p \cdot q) \cdot \sum \limits_{i=0}^\infty {((1-q) \cdot (1-p))^i}$

[venco]

Давайте только зафиксируем что первым стреляет p, чтобы использовать это решение в тройном случае. И выражение лучше упростить, вы ведь не будете суммировать бесконечный ряд?

[_hum_]

А что формализовать задачу в рамках теории игр и применить для решения методы последней не получится?

[garin99]

Составить цепь Маркова, где состояния цепи характеризуются составом живых дуэлянтов и очередью выстрела (если стреляют по очереди). Получится конечная поглощающая цепь Маркова с матрицей переходных вероятностей содержащей много нулей. Оперируя этой матрицей несложно найти вероятность оказаться в состоянии цепи когда в живых остался только нужный дуэлянт.