Найти подгруппу, изоморфную другой группе

[farewe11]

Добрый вечер. Нужно в $GL_2(\mathbb{C})$ найти подгруппу, изоморфную $Z_3$.
Достаточно ли просто указать, какие элементы будут в этой подгруппе? Очевидно, что там будет 3 матрицы: $E$, произвольная $A$ и $A^{-1}$.

[AV_77]

Судя по заданию нужно эти матрицы найти.

[ИСН]

Не совсем произвольная. Даже, я бы сказал, совсем не.

[farewe11]

Что ж, раз она "совсем не произвольная", то давайте подумаем. $Z_3 = \{ 0, 1, 2 \}$, единичная матрица из $GL_2(\mathbb{C})$ переходит в $0$, к примеру; потом, совсем не произвольная матрица переходит в $1$, а обратная ей - в $2$. И разве не для произвольной матрицы можно (теоретически) придумать такой изоморфизм? Впрочем, я пока ни для одной матрицы пока не могу привести пример такого изоморфизма.. Может, какую-нибудь операцию с определителем взять.. Думаем.

[AV_77]

А может $\mathbb{C}$ не просто так?

[ИСН]

Нет, комплексные тут как раз просто так (можно было обойтись действительными), а вот как... Вы как проверяете, что изоморфизм - это изоморфизм, а не просто обезьяна увидела открытый Paint и какие-то стрелочки намалевала?

[AV_77]

ИСН в сообщении #571947 писал(а):

Нет, комплексные тут как раз просто так (можно было обойтись действительными), а вот как..

Может и так. Но для $\mathbb{C}$ нужная группа находится очень легко. А вроде именно это и надо сделать. Хотя для $\mathbb{R}$ тоже не сложно.

[farewe11]

ИСН в сообщении #571947 писал(а):

Вы как проверяете, что изоморфизм - это изоморфизм, а не просто обезьяна увидела открытый Paint и какие-то стрелочки намалевала?

$f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$ - это свойство должно выполниться, где $f$ - это у нас изоморфизм. Ну и, понятное дело, взаимно однозначное соответствие..

AV_77 в сообщении #571949 писал(а):

Но для $\mathbb{C}$ нужная группа находится очень легко. А вроде именно это и надо сделать.

Именно это и надо сделать, да. Я-то думал, будет достаточно описать подгруппу эту, но, похоже, и правда, маловато будет этого. Значит, матрицы 2х2, с комплексными числами, одна обратна другой, и они переходят в $1$ и $2$, соответственно.. Стоит ли построить примеры двух таких матриц, или ответ всё же на поверхности лежит?

[ИСН]

Кроме того, что одна обратна другой, есть на них какие-нибудь условия?

[farewe11]

Они ещё и невырожденные должны быть. Вроде всё..

[ИСН]

farewe11 в сообщении #571954 писал(а):

$f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$

Вы перебрали все возможные пары (a,b)?

[farewe11]

ИСН в сообщении #571962 писал(а):

farewe11 в сообщении #571954 писал(а):

$f(a\cdot b) = f(a)\cdot f(b)$

Вы перебрали все возможные пары (a,b)?

Да; правда, этот процесс носил слегка абстрактный характер, т.к. я ещё не изготовил конкретных матриц.. ну а вообще все возможные пары вот: $E\cdot E = E$, $A\cdot E = A$, $A^{-1} \cdot E = A^{-1}$, $A\cdot A^{-1} = E$. Вот, пожалуйста - группа из трех элементов..

[ИСН]

Это не все возможные пары.

[farewe11]

Всё, понял, к чему вы клоните. $A\cdot A$, $A^{-1} \cdot A^{-1}$ - вот про них забыл. Что ж.. $A\cdot A = A^{-1}$, $A^{-1} \cdot A^{-1} = A$ , вероятнее всего. Вот у нас и сформировались дополнительные требования к матрицам.. потянет на ответ? (если это верно, разумеется)

-- Ср май 16, 2012 21:34:00 --

Вряд ли это верно, честно говоря. По таблице Кэли это единственный вариант, но как-то не слишком жизненно он выглядит..

[ИСН]

Вот! Только это ещё не ответ. Ответ - это конкретные матрицы.