Найти подгруппу, изоморфную другой группе

[AV_77]

Попробуйте среди диагональных матриц поискать нужную.

[farewe11]

Хорхе в сообщении #572066 писал(а):

Вы же умеете на множители раскладывать?

Умею, вроде бы. $z^3-1 = (z-1)(z^2+z+1)$.

Всё бы ничего, только не вижу связи между $z^3-1$ и той задачей, которая передо мной изначально стояла.. Там же у нас было что-то вроде $AA=A^{-1}$, $AA^{-1}=E$, и нужно найти такую матрицу $A$. Возьмем матрицу 1х1. $A = a+bi$.
$AA = a^2-b^2+2abi = A^{-1}$.
$AA^{-1} = \dots$ - продолжать? )

AV_77 в сообщении #572070 писал(а):

Попробуйте среди диагональных матриц поискать нужную.

Актуально для матрицы 2х2, и, кстати, дельная мысль. Ну сейчас, даст бог, закончим с матрицей 1х1...

[Хорхе]

farewe11 в сообщении #572074 писал(а):

Всё бы ничего, только не вижу связи между $z^3-1$ и той задачей, которая передо мной изначально стояла.. Там же у нас было что-то вроде $AA=A^{-1}$,

Ну если $AA=A^{-1}$, то чему равно $A^3$? Да и вообще, чему оно может быть равно в группе порядка три?

[farewe11]

$A^3 = E$.
$(a+bi)^3=1+0i$
Верно ведь? Да.

[Хорхе]

Где-то так. Теперь надо все это свести воедино.

[farewe11]

Ну вот и получается $a^3-3ab^2 +(3a^2b - b^3)i = 1+0i$

-- Чт май 17, 2012 00:30:42 --

В прошлый раз, когда я до этого дошел, почему-то тему беседы мы резко изменили...

[Хорхе]

Ничего удивительного, что "изменили" (на самом деле, ничего не меняли). Вы легко последнее уравнение можете решить?

[farewe11]

Да надеюсь на это, по крайней мере. Достаточно приравнять действительную и мнимую части.. $a=-\frac12$,$b = \frac{\sqrt3}2$
А как "размножить" матрицы?

[Хорхе]

Ну хотите решать такие уравнения - решайте, мсье знает толк в извращениях.

А как размножить матрицу, писали где-то. Тут вообще уже все нужное для решения написано в ветке, и не раз.

[farewe11]

Что ж, надеюсь на это. Спасибо за помощь. :)

[Хорхе]

Но я все же рекомендую ознакомиться с тем, как извлекаются из комплексных чисел корни всяких степеней. Иначе Вас ждет жестокое столкновение с реальностью на экзамене, где Вам дадут, к примеру, такое же задание, только для группы из семи элементов.

[Kallikanzarid]

Я вижу как минимум 3: одна идет из $\mathbb{C}$, одна - из $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ (небольшой трюк с первой), и одна - из $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ (или, альтернативно, из двумерного неприводимого комплексного представления $S_3$).

[Хорхе]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #572179 писал(а):

и на - из $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ (или, альтернативно, из двумерного неприводимого комплексного представления $S_3$).

Я думаю, тут ТС скорее подумает "в армию - так в армию" (или "в балет - так в балет") чем оценит глубину написанного.

Кстати, представление перестановочными матрицами таки самое простое, по крайней мере, с виду: там нолики и единички, а не эти загадочные синусы пинатрех и пинашести. Жалко, что в условии $\mathbb R^2$, а не поразмеристей.

[Kallikanzarid]

Хорхе

(Оффтоп)

Не напоминайте мне об армии - больное место

-- Чт май 17, 2012 14:14:24 --

Хорхе
Кстати, я только что понял, что поскольку $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) \cong \mathrm{U}(1)$, первый и третий вариант находятся в весьма пикантных отношениях Скорее всего, в правильных координатах третий вариант диагонализируется, и мы получаем первый.

[farewe11]

Хорхе в сообщении #572202 писал(а):

Я думаю, тут ТС скорее подумает "в армию - так в армию" (или "в балет - так в балет") чем оценит глубину написанного.

Ну зачем же так критично. Москва не сразу строилась.
И думаю, будет полезным для потомков оставить тут ответ: 3 диагональные матрицы, на диагонали $n$-й матрицы стоят $(-\frac12 + \frac{\sqrt3}2i)^{n-1}$