Нормальное распределение.

[Firth]

Случайное отклонение размера детали от заданного - нормальная случайная величина с параметрами $\sigma ,m$.
Изделие подлежит переделке если отклонение превысит 10мм, найти функцию распределения отклонений для изделий подлежащих переделке.

Собственно можно из условия сразу найти параметры $m$ и $\sigma$ они соответственно равны 0 и 10 тогда функция распределения отклонений любой детали имеет вид:

$\frac{1}{10\cdot\sqrt 2 \pi}\cdot e^\frac{-x^2}{200} $
так ли это?

И вот мой вопрос как отсюда добраться до функции распределения отклонений подлежащих переделке?
Мои соображения таковы что нужно использовать функцию Лапласа, подставить туда значения от $-\infty$ до $-10$ и от $10$ до $\infty$ тогда искомая функция будет найдена, но тогда как быть с промежутком $[-10,10]$? Вобщем я окончательно запутался, очень надеюсь на помощь.

[Integrall]

Firth в сообщении #570221 писал(а):

Собственно можно из условия сразу найти параметры m и $\sigma$ они соответственно равны 0 и 10 тогда функция распределения отклонений любой детали имеет вид:

$\frac{1}{10\cdot\sqrt 2 \pi}\cdot e^\frac{-x^2}{200} $
так ли это?

нет. Вы должны использовать $m$ и $\sigma$, и выразить функцию распределения через них.

[--mS--]

Firth в сообщении #570221 писал(а):

Случайное отклонение размера детали от заданного - нормальная случайная величина с параметрами $\sigma$,m.
Изделие подлежит переделке если отклонение превысит 10мм, найти функцию распределения отклонений для изделий подлежащих переделке.

Собственно можно из условия сразу найти параметры m и $\sigma$ они соответственно равны 0 и 10 тогда функция распределения отклонений любой детали имеет вид:

$\frac{1}{10\cdot\sqrt 2 \pi}\cdot e^\frac{-x^2}{200} $
так ли это?

Нет, не так. Это ни разу не функция распределения, а плотность, и при этом не искомого распределения. И сигма не равно десяти. Попробуйте прочесть и понять условие. Параметр сигма искать не нужно и найти нельзя - он дан, он равен $\sigma$. Давайте заведём случайную величину $X$, которая есть "отклонение размера детали от заданного" и распределение которой Вам дано: нормальное с параметрами $\sigma$, $m$ (кстати, про $m$ не сказано, что оно нуль? это странно).

1) Запишите, используя символ $X$, событие "деталь отправлена на переделку".
2) Что называется функцией распределения? Дайте определение.
3) Какое событие уже случилось? Как называют вероятности, вычисленные при условии, что какое-то событие уже случилось?

[Firth]

аааа я пререпутал плотность и функцию распределения это весьма неприлично было.
1) Итак деталь отправлена на переделку когда ее размер отклонился от заданного на 10
Если за $X$ взять размер детали то отклонение от заданного размера будет:
$|X-M(X)|$ и событие запишется так: $|X-M(X)|>10$
2)Функция распределения - вероятность того, что случайная величина $X$ приняла значение меньше текущей переменной $x$.
3)Случилось событие из первого вопроса - те деталь отправлена на переделку, следовательно
$|X-M(X)|>10.$
Найдем вероятность этого $1-\Phi(\frac{10}{\sigma})-\Phi(\frac{0}{\sigma})$. Теперь мы нашли вероятность выполнения условия. Что делать дальше какую условную вероятность искать?

[AKM]

Firth,
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
В теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".
Не только дробь или квадратный корень --- вся формула окружается (и любая формула) знаками доллара, а не её кусочек. Типа $1-\Phi(\frac{10}{\sigma})-\Phi(\frac{0}{\sigma})$,
$|X-M(X)|>10$. Приличная запись есть правило (требование) данного форума.

[Integrall]

Firth в сообщении #570248 писал(а):

2)Функция распределения - вероятность того, что случайная величина X приняла значение меньше текущей переменной x.

выпишите функцию распределения $P(X< x)$ явно.

[Firth]

Хм вы намекаете не использовать формулу Лапласа?
функция распределения для случайной величины заданной нормально:

$$\frac{1}{\sigma\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(X-m)^2}{2\sigma^2}} dX$$

я так понимаю

$$|X-m|>10$$

Должно быть.
Ооо может быть вот так?

$$(1-\Phi(\frac{10}{\sigma}))\cdot\frac{1}{\sigma\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(...)^2}{2\sigma^2}} dX$$

И остается найти знаменатель показательной функции?

Неет мне кажется это не верно, я смешиваю два разных понятия.

-- 13.05.2012, 15:25 --

Ну, у меня есть вероятность того что деталь пришла в негодность, есть функция распределения для размеров деталей. Вопрос в том как получить функцию распределения деталей пришедших в негодность. множить вероятность на функцию распределения - шаг не понятный, по моему, и не верный, может просто поставить условие:

$$|X-m|>10$$

но тогда как будет выглядеть функция при обратном условии?

[--mS--]

Firth в сообщении #570248 писал(а):

аааа я пререпутал плотность и функцию распределения это весьма неприлично было.
1) Итак деталь отправлена на переделку когда ее размер отклонился от заданного на 10
Если за $X$ взять размер детали то отклонение от заданного размера будет:
$|X-M(X)|$ и событие запишется так: $|X-M(X)|>10$

Ещё раз предлагаю прочесть условие. Отклонение - это как раз никакой не модуль, а случайная величина $X$ с заданным нормальным распределением.

Firth в сообщении #570248 писал(а):

3)Случилось событие из первого вопроса - те деталь отправлена на переделку, следовательно
$|X-M(X)|>10$.
Найдем вероятность этого $1-\Phi(\frac{10}{\sigma})-\Phi(\frac{0}{\sigma})$. Теперь мы нашли вероятность выполнения условия. Что делать дальше какую условную вероятность искать?

Запишите правильно событие, которое случилось, его вероятность, а потом функцию распределения как вероятность - но не простую, а условную.

[Firth]

ммм ну тогда если $X$ это не размер, а отклонение
все выше написанное мной является чистейшим бредом. И я заново отвечу на ваши вопросы.
1)Деталь отправлена на переделку $X>10$
2)Тогда функция распределения

$$\frac{1}{\sigma\cdot\sqrt{2\pi}}\cdot\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(X-m)^2}{2\sigma^2}} dX$$

хоть своего вида и не поменяет но приобретет совершенно другой смысл.
3) ищем вероятность события $X>10$:
$1-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})+\Phi(\frac{0-m}{\sigma})$ (Еще и знак перепутал)

хм теперь запишем функцию распределения как условную вероятность т.е. при условии того, что $X>10$, но что случилось при этом условии?
Умножим эту вероятность на что? На другую вероятность на вероятность, того, что отклонение от заданного размера отличается от 10?
Нужно представить себе коробку с испорченными деталями.

$$(1-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})+\Phi(\frac{0-m}{\sigma}))\cdot ?$$

так должен выглядеть ответ?

[--mS--]

Firth в сообщении #570329 писал(а):

3) ищем вероятность события $X>10$:
$1-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})+\Phi(\frac{0-m}{\sigma})$ (Еще и знак перепутал)

Откуда тут ноль? События $\{X>10\}$ и $\{X \leqslant 10\}$ противоположны, откуда взялась функция распределения в нуле?

Firth в сообщении #570329 писал(а):

хм теперь запишем функцию распределения как условную вероятность т.е. при условии того, что $X>10$, но что случилось при этом условии?
Умножим эту вероятность на что? На другую вероятность на вероятность, того, что отклонение от заданного размера отличается от 10?

Сначала напишите, какую условную вероятность ищете. Потом по определению условной вероятности её ищите.

[Firth]

--mS-- в сообщении #570421 писал(а):

Откуда тут ноль? События $\{X>10\}$ и $\{X \leqslant 10\}$ противоположны, откуда взялась функция распределения в нуле?

Я считаю вероятность попадания отклонения в промежуток $[0;10]$ ну по формуле

$$\Phi(\frac{b-m}{\sigma})-\Phi(\frac{a-m}{\sigma}) X\in[a;b]$$

--mS-- в сообщении #570421 писал(а):

Сначала напишите, какую условную вероятность ищете. Потом по определению условной вероятности её ищите.

Итак я считаю вероятность того, что деталь отклонилась от заданного размера на n мм при условии, что она отклонилась от заданного размера более чем на 10 мм?

[--mS--]

Firth в сообщении #570458 писал(а):

Я считаю вероятность попадания отклонения в промежуток $[0;10]$ ну по формуле

$$\Phi(\frac{b-m}{\sigma})-\Phi(\frac{a-m}{\sigma}) X\in[a;b]$$

А откуда здесь этот промежуток? Процитировать условие? "Изделие подлежит переделке если отклонение превысит 10мм". А не "попадёт в интервал от 0 до 10".

Firth в сообщении #570458 писал(а):

Итак я считаю вероятность того, что деталь отклонилась от заданного размера на n мм при условии, что она отклонилась от заданного размера более чем на 10 мм?

Эта вероятность равна нулю, как и вообще любая вероятность попасть в точку для абсолютно непрерывного распределения. Вам нужна вероятность $\mathsf P(X < n\, | \, X > 10)$. Вот её и ищите по определению.

[Firth]

--mS-- в сообщении #570541 писал(а):

А откуда здесь этот промежуток? Процитировать условие? "Изделие подлежит переделке если отклонение превысит 10мм". А не "попадёт в интервал от 0 до 10".

События $[0;10]$ и $(10;\infty)$ - являются противоположными:

Тогда вероятность первого(изделие попадет в промежуток):

$$\Phi(\frac{10-m}{\sigma})-\Phi(\frac{0-m}{\sigma})=P(X\in[0;10])$$

верно?

А вероятность второго(изделие придет в негодность):

$$ 1-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})+\Phi(\frac{0-m}{\sigma})=P(X\in(10;\infty))$$

--mS-- в сообщении #570541 писал(а):

Эта вероятность равна нулю, как и вообще любая вероятность попасть в точку для абсолютно непрерывного распределения. Вам нужна вероятность $\mathsf P(X < n\, | \, X > 10)$. Вот её и ищите по определению.

$$ P(X < n \, | \, X > 10)=\frac{P(10 < X < n)}{P(X > 10)}=\frac{\Phi(\frac{n-m}{\sigma})-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})+\Phi(\frac{0-m}{\sigma})}$$

Верно?

[--mS--]

Firth в сообщении #570688 писал(а):

События $[0;10]$ и $(10;\infty)$ - являются противоположными:

Нет, не являются. Читаем условие и определение нормального распределения.

[Firth]

--mS-- в сообщении #570940 писал(а):

Нет, не являются.

Не беда. есть еще вариант я посчитаю от -10 до 10, и вычту из единицы.
Вероятность порчи детали:

$$ 1-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})+\Phi(\frac{-10-m}{\sigma})=P(|X|\in(10;\infty))$$

Верно, ооо надеюсь что да.

тогда окончательно формула будет записана в виде:

$$ P(|X| < |n| \, | \, |X| > 10)=\frac{P(10 < |X| < |n|)}{P(X > 10)}=\frac{\Phi(\frac{|n|-m}{\sigma})-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{10-m}{\sigma})+\Phi(\frac{-10-m}{\sigma})}$$

А так?