
А я и не говорил, что можно. Та формула которую я привел, ведь это не формула теории ZFC. Доказательство противоречивости, как раз и состоит в том, что с помощью геделевской нумерации, эта формула выражается на языке ZFC.Само собой, что противоречия типа обычного парадокса Рассела, либо другие
явные конструкции такого сорта в ZFC построить невозможно. Что касается чисто технических проблем моего доказательства, то до некоторой степени ситуация здесь аналогична доказательству теоремы Геделя о неполноте
арифметики. Возьмем для примера, Геделевское неразрешимое предложение W, которое
говорит о своей собственной недоказуемости. Рассуждая теперь чисто формально, мы тут же и причем
совершенно элементарно, приходим к выводу, что ни само W ни его отрицание (не W) не доказуемы в ZFC. Как хорошо известно основная проблема, которую удалось решить Геделю, как раз и состояла в том чтобы выразить предложение W на языке ZFC. До
Геделя, как Вам хорошо известно, все математики, включая Гильберта, были абсолютно уверены, что по меньшей мере непротиворечивость арифметики доказуема.

А как же может
быть иначе, думали тогда все включая Гильберта

Так что если бы Гедель ограничился только идеей своего доказательства и не предъявил его целиком, то все бы говорили, что
построить предложение W, средствами арифметики невозможно и по сей день искали бы
доказательство непротворечивости.
С доказательством противоречивости, ситуация совершенно аналогичная. Поскольку подавляющее большинство математиков не логиков, в силу известных исторических причин, уверено в непротиворечивости ZFC, то обычный контр аргумент сводится к тому, что построить формулы указанного мною типа, внутри ZFC невозможно.