В чём польза континуум гипотезы?

[Котофеич]

А почему Вы думаете, что у математики, должна быть какая то прямая связь с философской категорией, которую называют "реальным миром" Математика это просто один из инструментов познания этого реального мира и не более того. Как правило главную роль играет не сколько сам инструмент, а умение применить его на практике.

[bot]

PAV писал(а):

Континуум-гипотеза не имеет к реальному миру никакого прямого отношения, равно как и подавляющее большинство прочих математических абстрактных построений.

Не могу представить себе реального мира без математики и математиков.
Уж не знаю - польза это или нет, скорее роль. Как до Коэна, так и после него многие доказательства одного и того же получены при допущении этой гипотезы, а другие без неё.
Вторые считаются более полноценными. И если что-то доказано в предположениях континуум гипотезы, то попытки передоказать утверждения не прекращаются, если конечно не доказано, что без неё не обойтись.

[Macavity]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

И это, как мне кажется, следствие того, что понятие бесконечности существует только в мозгу у человека, в природе (как чувственной данности) ее нет. Поэтому мы можем назначать ей любые свойства, только бы не входить в противоречие с самим собой - природа к этому полностью инвариантна.

Честно говоря, мне это совсем непонятно. Я считаю, что физики рано отказались от бесконечности. Тем более все их теории считают бесконечность обычным делом. Начиная от амплитуд квантовой механики, плюс гипотезы о мультиверсности, плюс размерность пространства для теории суперструн (что там в этих размерностях, может чистая непрерывность). Даже когда говорят о конечном количестве атомов, частиц и т.д. в пространстве, то правильнее было бы говорить о конечности количества частиц в доступной части пространства (и опять же вопрос о множественности вселенных), а как быть с виртуальными частицами, их можно посчитать, как понимать мысль физиков, что вакуум буквально кишит этими "частицами".
Мне кажется, что всё наоборот - у физиков в голове нет бесконечности, а в природе она вполне может быть.

[Котофеич]

Где это физики от бесконечности конкретно отказались Физики тоже разные бывают.

[Macavity]

Котофеич писал(а):

:evil: Где это физики от бесконечности конкретно отказались Физики тоже разные бывают.

Слышал, что одному физику не нравится бесконечность натурального ряда.

[juna]

Macavity писал(а):

Артамонов Ю.Н. писал(а):

И это, как мне кажется, следствие того, что понятие бесконечности существует только в мозгу у человека, в природе (как чувственной данности) ее нет. Поэтому мы можем назначать ей любые свойства, только бы не входить в противоречие с самим собой - природа к этому полностью инвариантна.

Честно говоря, мне это совсем непонятно. Я считаю, что физики рано отказались от бесконечности. Тем более все их теории считают бесконечность обычным делом. Начиная от амплитуд квантовой механики, плюс гипотезы о мультиверсности, плюс размерность пространства для теории суперструн (что там в этих размерностях, может чистая непрерывность). Даже когда говорят о конечном количестве атомов, частиц и т.д. в пространстве, то правильнее было бы говорить о конечности количества частиц в доступной части пространства (и опять же вопрос о множественности вселенных), а как быть с виртуальными частицами, их можно посчитать, как понимать мысль физиков, что вакуум буквально кишит этими "частицами".
Мне кажется, что всё наоборот - у физиков в голове нет бесконечности, а в природе она вполне может быть.

Я мало вижу различий между современной физикой и математикой. По-крайней мере, метод один.
А то, что в природе нет бесконечности - это философское убеждение, не претендующее на абсолютную истину.
Природа для нас дается как совокупность внешних наглядных образов - чувственная данность. Но попробуйте найти в ней бесконечность - как наглядный образ. Вы обнаружите, что это невозможно. На самом деле мы не можем по-честному закончить этот наглядный образ. Отсюда можно сделать вывод, что этот обман становится возможным благодаря какой-то другой нашей способности, к чувственности не имеющей никакого непосредственного отношения.
Таким образом, это свойство нашего разума, а не чувственной данности.

[Борис Лейкин]

1) Вопрос про бесконечности имеет смысл в реальном мире.
1.1) В природе есть бесконечность.
1.1.1) Бесконечность счётна.
1.1.2) Бесконечность - континуум.
1.1.3) Мощность бесконечности между счётным и котинуумом.
(Множество бесконечностей с такой мощностью конечно, счётно или континуум
или... смотри снова пункт 1 заменив слово "природа" словами "мощность
множества бесконечностей между счётным и континуумом")
1.1.4) Мощность бесконечности больше континуума. (см. примечание к пункту 1.1.3)
1.2) В природе нет бесконечности
2) Вопрос про бесконечности не имеет смысла в реальном мире.
3) Вопрос про смысл имеет ли смысл, а про смысл смысла?

[Котофеич]

[Victor1997]

Все люди (включая физиков, математиков, etc.) изучают одно и тоже: окружающую реальность (мир, Вселенную, etc.)
Бесконечность - это процесс (алгоритм) вычислений, СЧЕТНЫЙ по самому своему смыслу.
Хороший алгоритм должен давать предсказуемый (воспроизводимый) результат в принятой логике (рекурсивной системе вывода). Это не всегда возможно (Гёдель). (Тривиальные логические ошибки или недостаток интелекта, естественно, исключаем.) Пример, -- док-во Коэна невыводимости контируум-гипотезы.
Можно попробовать поменять систему вывода, если задача того стоит, но надо при этом сохранить все предыдущие достижения человечества, а это нелегко. Да и зачем? Что, есть задача?
А окружающая реальность здесь не при чём. Окружающая реальность всегда "права".

[Борис Лейкин]

Victor1997 писал(а):

Бесконечность - это процесс (алгоритм) вычислений, СЧЕТНЫЙ по самому своему смыслу.

Вот в этом то, похоже, и проблема: а не может ли процесс вычислений быть несчётным (квантовые вычисления)?


Смотрите, чего ещё нашёл http://math.ucr.edu/home/baez/nth_quantization.html:

Цитата:

something interesting about sets with negative cardinality... but for that, you'll have to read this:
Daniel Loeb, Sets with a negative number of elements, Adv. Math. 91 (1992), 64-74

Люди, может кто-нибудь прокомментировать, это бессмыслица или нет, отрицательные кардиналы?

[juna]

Котофеич писал(а):

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Мне кажется, что всё наоборот - у физиков в голове нет бесконечности, а в природе она вполне может бытьЯ мало вижу различий между современной физикой и математикой. По-крайней мере, метод один.

Что значит метод один В физике главный метод это эксперимент.
Что в голове у физиков так это точно не известно. Скорее всего там самые обыкновенные мозги.

Часть текста из якобы моей цитаты ко мне не имеет никакого отношения. Исправьте, пожалуйста.

[Котофеич]

В вашем сообщении я не могу ничего править. Вычеркните его сами.

[PAV]

PAV:

Котофеич

Строгое замечание за искажение цитирования. Исправьте свой пост.
И вдобавок - за совершенно немотивированное хамство в ответ на резонную просьбу форумчанина, которому вы приписали чужие слова.

[PAV]

Борис Лейкин писал(а):

Вот я и не могу никак понять связь математики и реального мира.
А континуум гипотеза разве не связана с философским (физическим) вопросом о структуре пространства (материи), дискретно оно или непрерывно или может что-нибудь промежуточное между ними?
Ну а непрямое отношение какое-нибудь есть, например, в математике используется же, кажется, как сама КГ так и её отрицание для доказательства каких-то фактов "в анализе, топологии точечных множеств, теории меры", ну, т.е., тогда, КГ имеет отношение не к реальному миру а к его приближениям с помощью математических теорий основанных на разных системах аксиом, как там это обозначается ZF+CH, ZF+(~CH)? (Эх, ну, вобщем, какие приложения континуум-гипотезы в самой математике, я хотел спросить?)

С некоторым запозданием выскажу пару своих соображений. Я не утверждаю, что это действительно так, как я напишу, но я сейчас для себя объясняю именно так.

Во-первых, не забывайте, что все вопросы о независимости тех или иных утверждений - это не вопросы о том "как на самом деле", но лишь о том, что из чего можно вывести, а что нельзя. Возьмите аксиому выбора. Есть система непересекающихся множеств, тогда можно составить новое множество, содержащее ровно по одному представителю от исходных. Разумеется, Вам ничто не мешает считать это множество "существующим". Вопрос только в том, разрешается ли такой способ построения в доказательствах. Т.е. если мы эту аксиому не принимаем, то такое "множество представителей" просто не считается допустимым множеством (если его нельзя получить другим путем).

Аналогично и с континуум-гипотезой. Вам ничто не мешает интуитивно считать множества промежуточной мощности "существующими". Но если принимается отрицание континуум-гипотезы, то они просто не считаются правильными множествами и вообще не могут появляться ни в каких рассуждениях. Независимость означает лишь, что стандартными средствами теории Вы не можете ни построить такое множество, ни доказать, что его не существует. Если теория непротиворечива, то это означает, что такие множества существуют, но они как бы совершенно независимы от прочих множеств. Их можно либо все разом запретить, приняв континуум гипотезу, либо постулировать явно, введя ее отрицание. В последнем случае в теории могут появляться новые теоремы, в которых подобные множества фигурируют.

Что же касается реального мира, то тут проще все. Нужно всегда помнить, что математика изучает только воображаемые объекты, модели, которые в определенной степени могут хорошо описывать какие-то реальные вещи, но только в определенной степени. Нет в реальности ни вещественных чисел, ни рациональных, ни даже натуральных. Это все абстракции, которые мы сами придумали. Апелляции к физике (например, квантовой) также не помогут, так как это тоже абстрактные модели, которыми физики сумели приблизить какие-то наблюдаемые явления, не охваченные другими моделями.

Поэтому, если у нас есть две альтернативные модели для описания чего-либо, то единственный способ выбрать, какая из них подходит - это придумать такой реальный эксперимент, результаты которого предсказываются этими моделями по-разному. В нашем случае, учитывая, что в реальном эксперименте мы вообще всегда наблюдаем только конечные множества, придумать такой эксперимент, в котором бы проявилась континуум-гипотеза по-моему нереально. Так что к реальности это не имеет отношения, можете считать обе теории одинаково подходящими.

[Macavity]

Надо же я что-то пропустил..., а было так интересно...
Мысль о том, что у физиков нет бесконечности в голове принадлежит мне, однако её не стоит воспринимать серъезно. Наоборот, другая мысль о возможном существовании бесконечности в природе (также принадлежит мне), не содержит и тени шутки.

Можно ли сегодня отказываться от бесконечности в физике, если по сути сама по себе физика начинается с этой бесконечности-сингуляпности - т.н. Большой Взрыв. При этом бесконечность проявляется и как плотность всего вещества сосредоточенного в "одной точке" и в "скорости" инфляции. Впрочем в этом вопросе Хокинг расходился с Пенроузом. Если Хокинг считал (не знаю считает ли он так сейчас), что появление сингулярностей это нормальное событие с ненулевой вероятностью, то Пенроуз склонен считать, что новая квантовая гравитация может дать ответы и разъяснения как понимать классические сингулярности ("Природа пространства и времени"). Даже если предположить, что вселенная ограничена (и в смысле размеров и в смысле массы и т.д.), то всегда остается шанс предположить, что где-то (возможно, рядом) есть другие вселенные и вопрос о их количестве опять переползает из практической части в философскую. Однако сам факт существования таких вселенных (у каждой, из которых был свой Большой Взрыв) многим физикам не кажется крамольным.
Например, размышления Пенроуза (не о вселенной, а о вселенных) из той же книги:

Цитата:

Более того, сингулярности коллапсирующих и расширяющихся вселенных будут иметь между собой в этом случае что-то общее, в то время как, похоже, они имеют чрезвычайно различные геометрии.

И главная проблема с бесконечностями заключается в том, что они "могут начинаться" там где заканчиваются возможности познания мира человеком. К "краю вселенной" не подлетишь, да и не увидишь его. Что там за фундаментальной длиной тоже непонятно.

Вот и выходит, что в теории физика практически всюду использует бесконечности (соответствующий математический аппарат).
На практике делается оговорка ограниченности мира (как вселенной или части вселенной).
Хотя на самом деле это просто условие локальности (никто и ничто не гарантирует, что законы природы у нас такие же как законы природы "где-то там далеко").
Каждая сингулярность в физической теории для физической теории приводит ее на грань самоуничтожения (это и есть причина того, почему физики всегда с подозрением относятся к математикам).
В связи с этим шансы найти чистую бесконечность в окружающем мире невелики, но никогда нельзя сказать, что поиск завершен.
Поэтому, я считаю, что вопрос бесконечности в природе это вопрос веры сегодня (хотя возможно в будущим ситуация изменится), а не адекватного восприятия окружающего мира.
Например, некто встречает Бога и задает вопрос о конечности и бесконечности окружающего мира. А в ответ слышит: "А как тебе бы хотелось, чадо моё любимое. Вот как хочешь, дорогой, так и сделаем..." (то есть, в принципе, есть возможность переиграть...)