Найти все матрицы n*n,коммутирующие с любой другой матр. n*n

[KoDeX]

Подходит k*E, k-любое действительное число, Е-еденичная матр n*n. как доказать, что других решений нет, а если есть, то как их найти?

[Lion]

Очень просто: если $AX=XA$, запишите неизвестную матрицу $X$ в виде

$$\begin{pmatrix}x_{11}&\cdots& x_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&\cdots&x_{nn}\end{pmatrix}$$

и возьмите $A=\lambda E_{ij}$, $i,j=1,\ldots,n$.

[KoDeX]

Это так, но ведь это не док-во того, что нет других решений, а проверка уже найденного

[Lion]

А вот и нет. Матрица $E_{ij}$ --- это матрица с 1 на месте $(i,j)$ и с 0 на всех остальных. Перемножьте матрицы и приравняйте получившиеся элементы (тождества не получится!).

[незваный гость]

Отчего же не решение? Вполне логично: Если $X$ коммутирует со всеми, то она коммутирует и с выбранными нами. Если после этого $X = \lambda E$, и $\lambda E$ коммутирует, то задача решена.

[Capella]

незваный гость писал(а):

:evil:
Отчего же не решение?

Я думаю, что KoDeX хочет показать, что нет других матриц, кроме единичных, которые он к тому-же уже рассмотрел..
Я так думаю, что надо доказывать от противного в общем виде для любой матрицы, т.е. предположить, что кроме единичной есть ещё какая-та матрица, которая выполняет условие коммутативности. Далее рассмотреть просто все новые элементы произведения в общем виде и прийти к противоречию.

PS Есть глубокии подозрения, что сиё дело может быть уже описано в каком-нибудь учебнике по ЛинАгу.

PPS А вообще эта задача из теории групп, а не ЛинАга - матрицы не образуют коммутативную группу относительно операции умножения

[Lion]

Capella писал(а):

незваный гость писал(а):

:evil:
Отчего же не решение?

Я думаю, что KoDeX хочет показать, что нет других матриц, кроме единичных, которые он к тому-же уже рассмотрел...

Именно это мы с незваным гостем и показали.
Еще раз. Предположим, что матрица $X$ коммутирует со всеми матрицами: $AX=XA$ $\forall A$. Значит, матрица $X$ коммутирует, в частности, с матричными единицами $\lambda E_{ij}$. Если записать это формально, приравняв получившиеся коэффициенты в произведениях $AX$ и $XA$, получатся соотношения на элементы матрицы $X$. Немного посчитав, можно получить, что $x_{ii}=\lambda$ $\forall i=1,\ldots,n$ и $x_{ij}=0$ при $i\neq j$. Отсюда следует, что $X=\lambda E$. Непосредственной проверкой легко удедиться, что такие матрицы коммутируют и со всеми остальными матрицами.

[Capella]

Lion

По-моему Вы не очень хорошо понимаете, что Вас спрашивают. Вы безусловно доказываете существование какого-то решения, но где Вы доказываете его единственность?
Я Вам задую, вообще говоря, какую-ту матрицу $B \ne \lambda \cdot E \phantom{0} \forall{\lambda}$ и буду утверждать, что она коммутирует и что Вы будете делать? Доказателства проводятся в общем виде, а не высчитываются под всякий конкретный.

KoDeX

Достаточно сравнить суммы $\sum_{i=1}^n {a_{ik}\cdot b_{ki}} \ne \sum_{i=1}^n {a_{ki}\cdot b_{ik}}$, т.е показать это неравенство, оно будет следовать из-за того, что $a_{ik} \ne a_{ki}$ для какой-то матрицы. (Рассмотрите например, когда какии-то элементы из левой стороны неравенства строго больше из правой стороны)

[Lion]

Capella, либо Вы чего-то не понимаете, либо я туплю. Я доказал, что если существует матрица, коммутирующая со всеми, то она имеет вид $\lambda E$. В то же время очевидно, что все такие матрицы подходят. По-моему, это и означает, что матрицы, коммутирующие со всеми --- это в точности $\lambda E$.

P.S. Если Вы задаете произвольную матрицу $B\neq \lambda E$, я применяю те же рассуждения и прихожу к противоречию.

[Capella]

Хорошо, я Вам объясню по-другому. Я беру какую-то (вообще говоря любую) матрицу $B$ и говорю, что выполняется сл равенство:

$B \cdot A_k = C_k = A_k \cdot B, \phantom{0} C_k \ne A_k$. Нужно показать, что это неравенство не выполняется для какой-то матрицы. Причём, как Вы видите, что при каком-то определёном $k$, я использую 3 различные матрицы, с коэффициентами не равными 0. Вы-же в своём доказательстве используете только свойство скаляра, чем сводите опять-же к случаю нейтрального элемента относительно умножения матриц $B \cdot E(\lambda) = B \cdot \lambda \cdot E(1) = \lambda \cdot ( B \cdot E(1)) = \lambda \cdot B $, что уже было рассмотрено автором темы. Поэтому он и спрашивал о доказательстве неналичия других решений. На мой взгляд доказательство заключатся в том, что всегда можно так подобрать коэффициенты не равные 0, что суммы стоящии в одной ячейки не будут равняться. Но это ествественно надо показать для всех матриц - именно несуществование такой матрицы, кроме выше разобранных.
Конечно мы все понимаем, что такой матрицы не существует (опять-же не образуют абелеву группу) и можно кустарно просто перемножать все матрицы Но единственность решения следует из общей формулы

[Lion]

Может, все дело вот в этом:

Lion писал(а):

Матрица $E_{ij}$ --- это матрица с 1 на месте $(i,j)$ и с 0 на всех остальных.

В своем доказательстве я и подобрал матрицы $A_k$ (равные $E_{ij}$) так, как Вы говорите.
P.S. А где я в своем доказательстве использую "свойство скаляра"? И что это вообще такое?

[Capella]

Ладно, мне больше не хочется переливать из пустого в пороженное. Я надеюсь, автор темы понял правильное решение, а остальное уже не так важно.
Про скаляр Вы можете прочитать здесь, а свойство это то, что Вы можете вынести его за матрицу, если он умножен со всеми её элементами (следует из написаного мною равенства)

[Dan_Te]

Capella,
Lion прав, его доказательство является верным.

[Capella]

Dan_Te

Я либо чего-то не понимаю, либо одно из двух. Вот доказательство:

Lion писал(а):

Очень просто: если $AX=XA$, запишите неизвестную матрицу $X$ в виде

$$\begin{pmatrix}x_{11}&\cdots& x_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&\cdots&x_{nn}\end{pmatrix}$$

и возьмите $A=\lambda E_{ij}$, $i,j=1,\ldots,n$.

Покажи мне момент, из которого следует единственность решения? По моему именно этот вопрос и спрашивался, как доказать единственность. Для меня это сигнал - как доказать несуществования других решений. Из существования какого-то решения не следует, что оно единственно - на мой взгляд надо рассмотреть случай для любой матрицы.

[Gordmit]

Capella писал(а):

Lion

По-моему Вы не очень хорошо понимаете, что Вас спрашивают. Вы безусловно доказываете существование какого-то решения, но где Вы доказываете его единственность?
Я Вам задаю, вообще говоря, какую-ту матрицу $B \ne \lambda \cdot E \phantom{0} \forall{\lambda}$ и буду утверждать, что она коммутирует и что Вы будете делать? Доказателства проводятся в общем виде, а не высчитываются под всякий конкретный.

Capella, Вы, вероятно, не очень внимательно прочитали доказательство. В нем как раз и рассматривается произвольная матрица $X$ (то, что Вы назвали $B$) и утверждается, что она коммутирует со всеми. Из этих условий выводится, что она имеет вид $\lambda E$. Таким образом, любая матрица, коммутирующая со всеми остальными, имеет вид $\lambda E$, что и требовалось доказать.