Найти все матрицы n*n,коммутирующие с любой другой матр. n*n

[Capella]

Gordmit писал(а):

Из этих условий выводится, что она имеет вид $\lambda E$.

Здесь суть дела. Вы сводите Ваши матрицы к единичному виду, но практически для этого Вы должны рассмотреть все матрицы (вообще говоря Вы расскладываете первоначальную на множество матриц с какими-то компонентами равными 0), которые Вы просто перемножаете. Я-же предлагаю взять какую-то матрицу, чьи элементы произвольны и показать, что всегда можно найти такую вторую матрицу, при перемножении которых элементы матриц-произведения не будут равны. Потому-что не выполнения симметрии лишь двумя элементами уже ведёт к некоммутативности.

Добавлено спустя 29 минут 49 секунд:

Смотрите, что я хочу сделать. Обозначаю, что $c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk} \ne \sum_{j=1}^n b_{ij}\cdot a_{jk} = d_{ik}$. Как это показать? Допускаю, что суммы равны, если брать до $n-1$. Это будет означать, что необходимо сл условие: $a_{in} \cdot b_{nk} = b_{in} \cdot a_{nk}$ Тривиально показать, что можно подобрать 4 числа, при которых это равенство не будет выполнятся. Это и есть всё доказательство.

[незваный гость]

ОК, я не понимаю, в чем проблема понимания, поэтому предлагаю упростить до предела. Давайте рассмотрим матрицы 2х2 (я зело ленив печатать), и разберемся, что получится.

Пусть матрица $X = \left( \begin{array}{ll} x_{11} &x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right)$. Она коммутирует со всеми, значит, и с матрицей $E_{11} = \left( \begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$. Имеем $E_{11} X = \left( \begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $X E_{11} = \left( \begin{array}{ll} x_{11} & 0 \\ x_{21} & 0 \end{array} \right)$. Из $E_{11} X = X E_{11}$ немедленно следует, что $x_{12} = x_{21} = 0$. Далее, теперь проверим коммунтативность с $E_{12} = \left( \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$. $E_{12} X = \left( \begin{array}{ll} x_{21} &x_{22} \\ 0 & 0 \end{array} \right) = $ $\left( \begin{array}{ll} 0 &x_{22} \\ 0 & 0 \end{array} \right)$. С другой стороны, $X E_{12} = \left( \begin{array}{ll} 0 & x_{11} \\ 0 & x_{12} \end{array} \right) = $ $\left( \begin{array}{ll} 0 & x_{11} \\ 0 & 0 \end{array} \right) $. Из их равенства имеем $x_{11} = x_{22}$, и, окончательно $X = x_{11} \left( \begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$.

Может быть, Вас смутило, что $E$ используется в дыух смыслах: как единичная матрица, и как $E_{i,j}$ — матрица, с единственной единицей в позиции $i,j$?

[Capella]

Нет, это я поняла.
Меня смущает, как Вы всё это хотите показывать для очень больших $n$. Я со своим решением сразу выхожу сухой из воды - я и показываю только неравенство каких-то двух суммандов. У Вас получается всё очень громоздко, с огромным количеством переборов.

[незваный гость]

Да все также, только вместо конкретных цифр используя $\forall i, j$. Не так уж и много надо (на первый взгляд: $2 n - {\rm C}$ тестов).

А вот с Вашими суммами (суммандами?) у меня проблемы: я не понимаю, откуда берется равенство для $n-1$, предполагаемое Вами. Да и дальше как-то мутновато… но это уже не важно.

[Capella]

незваный гость писал(а):

:evil:
А вот с Вашими суммами (суммандами?) у меня проблемы: я не понимаю, откуда берется равенство для $n-1$, предполагаемое Вами. Да и дальше как-то мутновато… но это уже не важно.

А оно и не обязано браться, но тогда всё вообще тривиально. Я сразу нахожу не коммутативные матрицы с элементами $a_{ij} = b_{jk} = b_{ij} = a_{jk}$

[RIP]

Capella, либо я тупой, либо одно из двух, но мне кажется, Вы доказали, что существуют некоммутирующие матрицы $A$ и $B$ (при n>1). Зачем Вы варьируете и $a$, и $b$?

По поводу док-ва. Бог с ними, с матрицами. Рассмотрим
Утверждение. Пусть $x$ - такое число, что для любого числа $a$ выполняется $ax=a$. Тогда $x=1$.
Док-во. Поскольку равенство $ax=a$ выполняется для любого $a$, то оно выполняется и для $a=1$. Подставляем и получаем $x=1$. ЧТД.
Согласны ли Вы с тем, что я написал?
Если да, то чем док-во Lionа отличается от этого?
незваный гость, вот это называется упростить до предела.

P.S. Внимательно перечитал дискуссию и понял, что вопрос о верности док-ва уже решён, но пусть это останется.

[Capella]

RIP

Да именно это я и доказала.

Вот ещё один пункт:

незваный гость писал(а):

Из $E_{11} X = X E_{11}$ немедленно следует, что $x_{12} = x_{21} = 0$.

Представьте теперь, у Вас есть сумма $a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} = b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} + b_{13}a_{31}$

Вся разница заключается в том, что вы все дружно тут-же говорите, что равенство выполняется, если все коэффициенты за исключением $a_{11}b_{11}$ обнуляются. А я здесь говорю - это-то как-раз и надо показать. А то вдруг всё-же всегда существуют такии рзличные сумманды не равные 0, что всё-же равенство выполняется. Более того, это и есть достаточность для любого $n$.

А вообще у меня сложилось впечатление, что единственный, кто прочёл (и даже почти понял), что я делаю - был RIP. Я вторые сутки пишу, какой именно момент требует более тщательного доказательства.

[RIP]

Capella, мне кажется, Вы не совсем уловили суть доказательтва.
А делается вот что. С Вашего позволения, я буду считать, что $n=3$ (где $3$ - произвольное натуральное число.)
Равенство $E_{11}X=XE_{11}$ переписывается следующим образом.

$$\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x_{11}&0&0\\x_{21}&0&0\\x_{31}&0&0\end{pmatrix}$$

Две матрицы равны $\Longleftrightarrow$ равны все их элементы. Поэтому $x_{12}=x_{13}=x_{21}=x_{31}=0$.
Рассматривая равенство $E_{ij}X=XE_{ij}$ при других $i,j$ (причем достаточно рассматривать $i\ne j$), мы и установим в конечном итоге то, что нам надо. Например, равенство $E_{12}X=XE_{12}$ дает (проверьте, я могу и ошибиться)
$x_{21}=x_{23}=x_{21}=x_{31}=0, x_{11}=x_{22}.$

[Capella]

RIP

Для Вашего доказательства Вы должны будете искать контрепример для каждого повышения ранга. Т.е для всех матриц до $n = 10 000$ по формуле незваного гостя вы должны сравнить 20 000 матриц. Я-же сравниваю только один сумманд и моё доказательство годно для матрицы любого ранга.

[RIP]

Capella
Теперь по поводу Вашего доказательства.
Вам надо доказать утверждение
Пусть матрица $B$ не является скалярной. Тогда найдется матрица $A$ такая, что $AB\ne BA$.

Вы доказываете утверждение
Найдутся матрицы $A$ и $B$ такие, что $AB\ne BA.$

Это разные утверждения.

[Capella]

RIP

А вы ещё раз тему прочтите, потому-что ещё в самом первом сообщении спрашивалось о доказательстве несуществования или нахождении других решений. Вот имено первый пункт я и делаю - доказываю несуществование для общего случая, когда не равняется единичным матрицам.
А моё докаательство Вы не правильно понимаете - я делаю для любой $B$ можно найти такую матрицу, что не будет выполнятся. Ключевое слово ЛЮБОЙ.

[RIP]

Capella писал(а):

А моё докаательство Вы не правильно понимаете - я делаю для любой $B$ можно найти такую матрицу, что не будет выполнятся. Ключевое слово ЛЮБОЙ.

Но ведь в процессе доказательства матрицу $B$ Вы изменяете!

[Capella]

RIP

НИЧЕГО ПОДОБНОГО!!! ГДЕ?

[RIP]

Capella писал(а):

Смотрите, что я хочу сделать. Обозначаю, что $c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk} \ne \sum_{j=1}^n b_{ij}\cdot a_{jk} = d_{ik}$. Как это показать? Допускаю, что суммы равны, если брать до $n-1$. Это будет означать, что необходимо сл условие: $a_{in} \cdot b_{nk} = b_{in} \cdot a_{nk}$ Тривиально показать, что можно подобрать 4 числа, при которых это равенство не будет выполнятся. Это и есть всё доказательство.

А как тогда это понимать?

[Capella]

Вообще говоря, числа-то любые. Но если Вам не нравится эта фраза, то вот Вам более чёткое доказательство (просто я думала, что могу не публиковать его).
Ну во первых оно годно для любого индекса $1 \leq m \leq n$ Поэтому немного изменю формулу:

$ a_{im}\cdot b_{mk} = b_{im} \cdot a_{mk} \to \frac {a_{im}\cdot b_{mk}} {b_{im}} = a_{mk}$

Теперь поскольку в левой части у меня все коэффициенты имеют твёрдые значения (здесь я отвечаю на Ваш вопрос и попутно задаю один из коэффициентов а), то при делении я должна получить какую-то константу, зависящую от левой части. Но посколько $a_{mk} \in \mathbb{R}$ и вообще говоря любое, очевидно, что можно легко найти число, невыполняющее равенства.

Вообще это не единственый способ доказательства.