Найти все матрицы n*n,коммутирующие с любой другой матр. n*n

[Otta]

Например, $\operatorname{diag}\{1,2\}$.

[zychnyy]

(Оффтоп)

Позор мне. Затупил.

[ewert]

Ну тут уже всё давно написано, прочитайте (сам я, правда, внимательно не читал -- это было ещё до меня).

Суть же очень проста. Если матрица $A$ коммутирует со всеми, то, в частности, она коммутирует со всеми диагональными. Однако умножение на диагональную матрицу $X$ с одной стороны сводится к умножению каждой строки $A$ на соответствующий диагональный элемент $X$, а умножение с другой стороны -- к умножению столбцов $A$ на диагональные элементы $X$. И если как частный случай взять в качестве $X$ какую-либо диагональную матрицу с ненулевыми и попарно разными диагональными элементами, то ненулевые внедиагональные элементы матрицы $A$ после умножения на $X$ слева и справа окажутся разными. Т.е. коммутирование с такими $X$ возможно лишь тогда, когда сама $A$ диагональна.

По той же причине на диагонали $A$ должны стоять именно одинаковые элементы -- в противном случае будут получаться разные результаты при умножении такой матрицы слева и справа, например, на матрицу $X$, сплошь заполненную единичками.

[zychnyy]

ewert спасибо за прояснение.