2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение16.04.2012, 16:33 


29/09/06
4548
Munin писал(а):
Рациональная параметризация кривых второго порядка - это что за зверь?
Ну типа возьмите эллипс $x=a\cos t$, $y=b\sin t$, и перейдите к $v=\tg\frac t2$. Будет рациональное $x(v),\:y(v)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение16.04.2012, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68273
nnosipov в сообщении #560694 писал(а):
Это идёт от Диофанта (метод секущих) и действительно просто, школьники это понимают.

Я не спросил, просто ли это, я спросил, что это. Сильно трудно ответить?

Алексей К.
Спасибо. Не знал, что это можно так мудрёно и туманно назвать. А иррациональные, дробно-рациональные параметризации бывают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение16.04.2012, 23:05 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Munin в сообщении #560838 писал(а):
Спасибо. Не знал, что это можно так мудрёно и туманно назвать.

Это совершенно стандартная терминология для выражения бирациональной эквивалентности между нашей кривой и прямой. Рациональная параметризация окружности, к примеру, где параметром является тангенс, моментально дает описание всех пифагоровых троек и объясняет удивительные тригонометрические формулы с так называемым «тангенсом половинного угла».

-- 17.04.2012, 00:06 --

nnosipov в сообщении #560610 писал(а):
Вас действительно заставляли заучивать тригонометрические тождества? И не рассказали при этом про комплексные числа? В нормальных школах этого не делают.

Заставляли заучивать, да, и про комплексные числа я узнал не в школе, а из других источников. Это была хоть и физико-математическая школа, но не в Москве/Петербурге, поэтому увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение16.04.2012, 23:07 


19/05/10

3940
Россия
Munin в сообщении #560838 писал(а):
...дробно-рациональные параметризации бывают?


Ну уж нет,
поле частных поля совпадает с исходным)))

-- Пн апр 16, 2012 23:10:43 --

apriv в сообщении #560608 писал(а):
...вспомнить страшно. К примеру, бессмысленное заучивание тонны тригонометрических формул...


Этого ни в нормальных школах никогда не было, ни в ненормальных
Это в алгебре изучают сейчас

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение16.04.2012, 23:17 
Заслуженный участник


08/01/12
915
mihailm в сообщении #560859 писал(а):
Этого ни в нормальных школах никогда не было, ни в ненормальных
Это в алгебре изучают сейчас

Так не было, или было в алгебре? Ну, «построения циркулем и линейкой» и решения задач на треугольники не сильно осмысленнее заучивания тонны формул.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 03:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68273
apriv в сообщении #560858 писал(а):
Это совершенно стандартная терминология для выражения бирациональной эквивалентности между нашей кривой и прямой.

Я, увы, не знаю также, и что такое "бирациональная эквивалентность". И вы единственный, кого я здесь вижу, кто пытается назвать знакомые мне элементарные вещи незнакомыми мне терминами.

apriv в сообщении #560861 писал(а):
Ну, «построения циркулем и линейкой» и решения задач на треугольники не сильно осмысленнее заучивания тонны формул.

Они крайне осмысленны. Они подводят к представлениям об аксиоматическом построении теории и о минимальности списка достаточных условий для логического вывода. Школьники-то всего этого не знают. Такое впечатление, что вы понятия не имеете о том, что такое научить с нуля элементарным вещам. Вообще, задачи, в отличие от заучивания, не бывают бессмысленными почти вообще никогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 06:20 
Заморожен


20/12/10
5623
Munin в сообщении #560838 писал(а):
Сильно трудно ответить?
Я подумал, что Вы знаете, что такое метод секущих. Ответить более подробно у меня не было времени --- занятия надо было вести. А термин "рациональная параметризация" довольно распространён. Было бы более непонятно сказать "кривая рода ноль" (про кривую, допускающую рациональную параметризацию). Кстати, кривые рода 1 (эллиптические кривые) допускают параметризацию в эллиптических функциях (это о том, какие ещё параметризации бывают).

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 11:01 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Munin в сообщении #560888 писал(а):
Я, увы, не знаю также, и что такое "бирациональная эквивалентность".

Есть кривая $C_F=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid F(x_1,\ldots,x_n)=0\}$, кривая $C_G=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid G(x_1,\ldots,x_n)=0\}$ ($F,G$ — многочлены). Берем $n$ рациональных функций $T_i(x_1,\ldots,x_n)=\frac{f_i(x_1,\ldots,x_n)}{g_i(x_1,\ldots,x_n)}$ ($f_i,g_i$ — многочлены), составляем из них рациональное отображение $T\colon C_F\to C_G$, $T(x_1,\ldots,x_n)=(T_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,T_n(x_1,\ldots,x_n))$. Если оно определено "почти всюду" на $C_F$, у него есть обратное, определенное "почти всюду" на $C_G$ — то оно называется "бирациональным изоморфизмом".

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68273
nnosipov в сообщении #560897 писал(а):
А термин "рациональная параметризация" довольно распространён.

Хорошо. Верю. Скажите, в какой области математики, и как называются учебники. Всегда интересно узнать что-то новое. Потому что мимо меня это прошло полностью.

Joker_vD
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 13:19 
Заморожен


20/12/10
5623
Munin в сообщении #560965 писал(а):
Хорошо. Верю. Скажите, в какой области математики, и как называются учебники.
Область математики --- алгебраическая геометрия. Используется также термин рациональная кривая (т.е. алгебраическая кривая, допускающая рациональную параметризацию). На школьном уровне можно встретить в учебнике Прасолова В.В. "Задачи по алгебре, арифметике и анализу", М.: МЦНМО, 2007 (см. 1-й пункт Дополнения "Рациональная параметризация окружности", стр. 539). В его же задачнике "Задачи по планиметрии", М.: МЦНМО, 2006 на стр. 591 есть п. 7 главы 31 "Рациональная параметризация", в котором приведены примеры задач. Для первого знакомства с предметом можно также рекомендовать брошюру Острика В.В. и Цфасмана М.А. "Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые", М.: МЦНМО, 2001. На не школьном уровне: Шафаревич И.Р. "Основы алгебраической геометрии", М.: МЦНМО, 2007 (см. 1-й параграф главы 1). И ещё одно замечание: в некоторых системах компьютерной алгебры (например, Maple) реализован алгоритм отыскания рациональной параметризации кривой рода 0 (Maple ссылается на статью: M. van Hoeij, "Rational Parametrizations of Algebraic Curves using a Canonical Divisor", 23, p. 209-227, JSC 1997.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68273
nnosipov в сообщении #561010 писал(а):
Область математики --- алгебраическая геометрия.

А, вот оно что. Давно слышал, никогда не изучал.

Не подскажете, в каких смежных областях математики и в каких приложениях её знание может быть полезным? Хотя бы в общих чертах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 14:23 
Заморожен


20/12/10
5623
Munin в сообщении #561025 писал(а):
Не подскажете, в каких смежных областях математики и в каких приложениях её знание может быть полезным?
Я здесь не специалист. Но одно приложение можно назвать --- теория чисел и, в частности, эллиптическая криптография, знание основ алгебраической геометрии здесь явно не помешает (эллиптические кривые --- это кривые рода 1). Когда-то мне нужно было решать системы алгебраических уравнений (переопределённые, как правило, и с большим числом неизвестных), и я надеялся, что алгебраическая геометрия мне как-то поможет. Напрасно надеялся ... Помогла скорее компьютерная алгебра. Впрочем, в многомерном комплексном анализе много алгебраической геометрии (многомерные вычеты, интегральные представления и т.п.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 15:21 


29/09/06
4548
Munin в сообщении #560838 писал(а):
А иррациональные, дробно-рациональные параметризации бывают?
Рациональность уже подразумевает "дробно-": $\frac{P(t)}{Q(t)}$ ( P,Q --- полиномы). Для кривых --- $\left[x(t)=\frac{X(t)}{W(t)},\;y(t)=\frac{Y(t)}{W(t)}\right]$. Обычная альтернатива --- ирра трансцендентные (кривые).
Munin в сообщении #561025 писал(а):
Не подскажете, в каких смежных областях математики и в каких приложениях...
Рациональные и (кусочно-рациональные, типа NURBSов) кривые сильно популярны в Computer-Aided Design (обычно без привязки к высокой науке, алгебраической геометрии). Для геометрического моделирования. Частный случай --- полиномы (кривые Безье) типа недостаточно гибок; добавим знаменатель. Мотивация, видимо, происходит от желания избежать разнообразия базовых функций (обойтись без трансцендентных), более быстрые алгоритмы, более простая формализация (ну типа 3 массива чисел-коэффициентов или набор "контрольных точек с весами" вполне определяет кривую).

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 18:32 


11/03/08
473
Петропавловск, Казахстан
Еще могу топикстартеру посоветовать книжку Адамар Ж. Элементарная геометрия, т. 1 Планиметрия. Написано немного старомодным языком, но очень глубоко охватывает курс Планиметрии.
Я, конечно, сильно отстал от математической жизни, но по-моему Уайлз в своем доказательстве большой теоремы Ферма использовал как раз методы алгебраической геометрии

 Профиль  
                  
 
 Re: Посоветуйте пожалуйста сложный учебник по планиметрии
Сообщение17.04.2012, 18:52 


19/05/10

3940
Россия
apriv в сообщении #560861 писал(а):
...
Так не было, или было в алгебре?...


Речь в теме вроде за геометрию.
Хотел написать что просто изучают в алгебре, но вспомнил, что когда-то по рассказам тетки был отдельный предмет в школе и назывался он тригонометрия.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group