2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 представление числа в виде суммы квадратов
Сообщение13.03.2012, 13:41 
Аватара пользователя
Прочитал следующую задачу:
Даны натуральные числа $x_1, . . . , x_n$.
Докажите, что число $(1 + x_1^2)  . . .  (1 + x_n^2)$ можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Но если взять $n=2, x_1=1, x_2=1$, то условие уже не выполняется. Какие же нужно поставить ограничения, чтобы гипотеза была верной?

 
 
 
 Re: Опечатка в задаче.
Сообщение13.03.2012, 13:58 
Можно считать, что представляем в виде суммы квадратов целых чисел. Либо в виде суммы одного или двух квадратов (то же самое).

 
 
 
 Re: Опечатка в задаче.
Сообщение13.03.2012, 14:01 
Аватара пользователя
Достаточно, чтобы иксы не были равны друг другу и единице. Или чтобы ноль был натуральным числом, но такая опция мне не нравится.

 
 
 
 Re: Опечатка в задаче.
Сообщение13.03.2012, 14:09 
ИСН в сообщении #547964 писал(а):
Достаточно, чтобы иксы не были равны друг другу и единице.

Достаточно, чтобы один из иксов был больше единицы. А случай, когда все иксы по единице, малоинтересен.

 
 
 
 Re: Опечатка в задаче.
Сообщение14.03.2012, 04:44 
Аватара пользователя
Спасибо) Мне потом тоже пришла идея, что если ноль считать натуральным числом, то все сходится.
nnosipov в сообщении #547965 писал(а):
Достаточно, чтобы иксы не были равны друг другу и единице.

Достаточно, чтобы один из иксов был больше единицы.


А это ни одно и тоже?

 
 
 
 Re: представление числа в виде суммы квадратов
Сообщение24.03.2013, 22:35 
AnDe в сообщении #547958 писал(а):
Прочитал следующую задачу:
Даны натуральные числа $x_1, . . . , x_n$.
Докажите, что число $(1 + x_1^2)  . . .  (1 + x_n^2)$ можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Но если взять $n=2, x_1=1, x_2=1$, то условие уже не выполняется. Какие же нужно поставить ограничения, чтобы гипотеза была верной?



Оно должно быть вида $4\cdot k+1$

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group