представление числа в виде суммы квадратов

[AnDe]

Прочитал следующую задачу:
Даны натуральные числа $x_1, . . . , x_n$.
Докажите, что число $(1 + x_1^2) . . . (1 + x_n^2)$ можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Но если взять $n=2, x_1=1, x_2=1$, то условие уже не выполняется. Какие же нужно поставить ограничения, чтобы гипотеза была верной?

[Sonic86]

Можно считать, что представляем в виде суммы квадратов целых чисел. Либо в виде суммы одного или двух квадратов (то же самое).

[ИСН]

Достаточно, чтобы иксы не были равны друг другу и единице. Или чтобы ноль был натуральным числом, но такая опция мне не нравится.

[nnosipov]

ИСН в сообщении #547964 писал(а):

Достаточно, чтобы иксы не были равны друг другу и единице.

Достаточно, чтобы один из иксов был больше единицы. А случай, когда все иксы по единице, малоинтересен.

[AnDe]

Спасибо) Мне потом тоже пришла идея, что если ноль считать натуральным числом, то все сходится.

nnosipov в сообщении #547965 писал(а):

Достаточно, чтобы иксы не были равны друг другу и единице.

Достаточно, чтобы один из иксов был больше единицы.

А это ни одно и тоже?

[megamix62]

AnDe в сообщении #547958 писал(а):

Прочитал следующую задачу:
Даны натуральные числа $x_1, . . . , x_n$.
Докажите, что число $(1 + x_1^2) . . . (1 + x_n^2)$ можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Но если взять $n=2, x_1=1, x_2=1$, то условие уже не выполняется. Какие же нужно поставить ограничения, чтобы гипотеза была верной?

Оно должно быть вида $4\cdot k+1$