Как показать уникальность разложения интервала?

[DDS]

Читал материал. В теореме 2.6 пишется следующее (дан открытый интервал G на вещественной прямой):

Цитата:

Каждое непустое отрытое множество G входящее в R может быть единственным образом представлено в виде конечного или счетно-бесконечного объединения попарно непересекающихся открытых интервалов.

После текста теоремы, приводится идея доказательства, которую я вроде понял, кроме того места, где написано, что уникальность доказывается от противного, сведением к противоречию.

Почему это разложение - уникальное? Интервал же можно разбить бесконечным числом способов. Я нашел ещё упоминания этой же теоремы в сети, она как-бы промежуточный результат, и используется для доказательства другой теоремы, но в тех других источниках я не видел, чтобы доказывалась единственность. Может быть есть где-то на русском изложение этой теоремы? Я был бы признателен за ссылку.

[PAV]

DDS в сообщении #533009 писал(а):

Интервал же можно разбить бесконечным числом способов.

Это как? Вот, например, интервал $(0,1)$ - как его иначе представить предлагаете?

[DDS]

PAV в сообщении #533011 писал(а):

DDS в сообщении #533009 писал(а):

Интервал же можно разбить бесконечным числом способов.

Это как? Вот, например, интервал $(0,1)$ - как его иначе представить предлагаете?

Ну, я же могу разбить его на две части пополам, а могу не ровно пополам. Все-равно два подинтервала будут составлять G при объединении.

[Someone]

DDS в сообщении #533018 писал(а):

Ну, я же могу разбить его на две части пополам, а могу не ровно пополам. Все-равно два подинтервала будут составлять G при объединении.

Ну, продемонстрируйте нам, пожалуйста, два не пересекающихся интервала, объединение которых равно интервалу $(0,1)$.

[DDS]

Например, объединение $(0,0.5)$ и $[0.5,1)$.

[loldop]

DDS
Позвольте спросить, а что вы понимаете под открытым интервалом?;)

Как вы думаете, верно ли такое разложение?
$(0,c)\cup\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n,b_n)\cup(c,1), a_n=\frac{nc}{n+1}, b_n = \frac{(n+1)c}{n+2}$

[Someone]

DDS в сообщении #533023 писал(а):

[0.5,1)

Это - не интервал. Это называется полуинтервал. А требуются интервалы.

P.S. Формулы обязательно надо окружать знаками доллара: $[0.5,1)$. Получается $[0.5,1)$. Подробности - в темах http://dxdy.ru/topic45202.html, http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html. И вообще, рекомендую повнимательнее почитать правила: http://dxdy.ru/topic3476.html (общие) и http://dxdy.ru/topic3829.html (для данного раздела). Иначе Ваши темы будут быстро попадать в Карантин.

[DDS]

loldop в сообщении #533027 писал(а):

DDS
Позвольте спросить, а что вы понимаете под открытым интервалом?;)

Как вы думаете, верно ли такое разложение?
$(0,c)\cup\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n,b_n)\cup(c,1), a_n=\frac{nc}{n+1}, b_n = \frac{(n+1)c}{n+2}$

С полуоткрытым интервалом я понял. Получается что в разложении из объединения выпадают границы интервалов. Поэтому разложение из Вашего поста тоже неправильное, т.к. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(a_n,b_n)$ - это пустое множество. Тогда я не совсем понял смысл теоремы. Она вроде бы должна говорить о том, что мы всегда открытый интервал можем поделить на непересекающиеся кусочки. Но если границы всегда выпадают, как при их объединении получается исходный интервал?

[Someone]

DDS в сообщении #533044 писал(а):

Тогда я не совсем понял смысл теоремы. Она вроде бы должна говорить о том, что мы всегда открытый интервал можем поделить на непересекающиеся кусочки. Но если границы всегда выпадают, как при их объединении получается исходный интервал?

Ваше "не совсем" явно означает, что поняли Вы шиворот-навыворот. Если у нас есть некоторый интервал $(a,b)$, то, очевидно, его представление в виде объединения одного интервала $(a,b)$ удовлетворяет условию теоремы. Теорема утверждает, что требуемое представление (в виде объединения конечного или счётного множества попарно дизъюнктных интервалов) единственно. Единственность в применении к данному случаю означает, что никакое другое представление интервала $(a,b)$ в таком виде невозможно.

[DDS]

То-есть, счетное объединение получается только если множество - несвязное из бесконечного числа компонент?

[Someone]

Да.

[DDS]

Спасибо. Теперь, разобрался.