диск на нити

[svv]

Чтобы веревка отклонилась от вертикали, диск должен сместиться по горизонтали. Но нет сил, действующих на него в горизонтальном направлении -- только две вертикальные силы.

[gris]

Вопрос интересен не в идеальном варианте, когда ответ интуитивно понятен (хотя интуиция она такая интуиция), а в отношении устойчивости при небольших отклонениях начального положения нити от вертикального.

[anik]

Нарисуйте картинку, где изображён диск с вертикальной нитью подвеса, точку подвеса и систему сил, действующих на диск, при заданных начальных условиях . В точке подвеса сила равна весу диска и направлена вертикально вверх. Эта сила через вертикальную нить действует на окружность диска. Сила тяжести диска приложена к ц.м. диска и действует по вертикали вниз. Для равновесия системы в этот момент времени должна быть равна нулю сумма сил, действующих на диск (она равна нулю), и сумма моментов сил, действующих на диск (а вот эта сумма не равна нулю).
Если нить наклонна, то появится горизонтальная составляющая силы натяжения нити, помноженная на плечо (расстояние от точки подвеса до ц.м. диска). Это произведение и даст момент с обратным знаком, после чего сумма моментов тоже станет равной нулю.
Так, что если диск освободить, то нить сразу начнёт отклоняться в сторону от центра диска.
Момент силы, который отклоняет нить, равен весу диска (с учётом его ускоренного падения) помноженному на радиус диска (от центра до точки где закреплена нить). Но это для начального момента времени.

[Oleg Zubelevich]

gris в сообщении #531910 писал(а):

Вопрос интересен не в идеальном варианте, когда ответ интуитивно понятен (хотя интуиция она такая интуиция), а в отношении устойчивости при небольших отклонениях начального положения нити от вертикального.

Замечательно. Давайте рассмотрим вопрос об устойчивости по Ляпунову решения с нулевым отклонение от вертикали.

-- Пт янв 27, 2012 15:40:54 --

svv в сообщении #531906 писал(а):

Чтобы веревка отклонилась от вертикали, диск должен сместиться по горизонтали. Но нет сил, действующих на него в горизонтальном направлении -- только две вертикальные силы.

это только при $t=0$, а что дальше будет мы не знаем, пока уравнения не напишем

[anik]

Кстати, если момент инерции диска равен нулю, а масса не равна нулю (сосредоточена в центре), то диск будет падать по вертикали вниз с ускорением g, а нить натянута не будет и может остаться вертикальной.

-- Пт янв 27, 2012 19:46:04 --

Oleg Zubelevich в сообщении #531922 писал(а):

это только при , а что дальше будет мы не знаем

Нет, не при $t=0$!

[svv]

Oleg Zubelevich в сообщении #531922 писал(а):

это только при $t=0$, а что дальше будет мы не знаем, пока уравнения не напишем

Если веревка вертикальна, то сила, с которой она действует на диск, тоже вертикальна. Другая сила, действующая на диск -- сила тяжести -- всегда вертикальна. Значит, если веревка вертикальна, то горизонтальная компонента равнодействующей равна нулю, и нет причин для выхода из такого состояния.

[gris]

svv, а если у нас горизонтальный стержень висит на двух верёвках, привязанных за концы, а потом мы одну верёвку отрезаем, то вторая верёвка останется вертикальной?


Oleg Zubelevich, я с удовольствием посмотрю на решение задачи, но сам не решусь на эту тему высказываться.

[Oleg Zubelevich]

svv мы с Вами начинаем повторяться

svv в сообщении #531929 писал(а):

Если веревка вертикальна, то сила, с которой она действует на диск, тоже вертикальна

а Вы не знаете вертикальна она или нет при $t>0$

svv в сообщении #531929 писал(а):

нет причин для выхода из такого состояния.

а из чего следует, что нет причин?

[svv]

Да, Вы правы. Убедили.

[anik]

Обратите внимание на то, что вертикальная сила, действующая на диск не может обеспечить его равновесия в данный момент. Начальные условия движения диска, напоминают маятник, отклонённый от положения равновесия. Вот если бы начальные условия были таковы, что ц.м. диска находился бы на одной вертикали с точкой подвеса, тогда было бы другое дело.
Нарисуйте картинку для этого случая и убедитесь что сумма сил и сумма моментов сил в этом случае равна нулю.

[Oleg Zubelevich]

gris
а решение совершенно стандартное: пишем уравнения Лагранжа, убеждаемся, что есть решение при котором веревка все время вертикальна
Вот про устойчивость надо подумать, это интереснее

[anik]

Эх вы, теоретики...

[ivanhabalin]

anik Всё правильно, но если на это же самое посмотреть при моменте энерции диска относительно центра масс очень большем? Всё остальное наверное где то посередине? Эч я практик.

[anik]

ivanhabalin в сообщении #531943 писал(а):

anik Всё правильно, но если на это же самое посмотреть при моменте энерции диска относительно центра масс очень большем? Всё остальное наверное где то посередине?

В динамике это будет выглядеть примерно так: момент силы, приложенный к диску от нити, будет динамически уравновешиваться инерционным моментом, равным произведению момента инерции диска на его угловое ускорение. С учётом этого можно вычислить ускорение падения диска и вес диска с учётом этого ускорения. Теперь, зная вес диска (с учётом его ускоренного падения) можно вычислить силу натяжения нити. Сумма всех этих сил и моментов должна быть равна нулю. Можно решить методом кинетостатики.

[ivanhabalin]

anik Ну конечно, момент и масса, а я..... .