Вычисление объема террикона

[Tia]

Столкнулся с проблемой при написание своей дипломной работы на экологическую тематику. Проблема заключается в следующем: у меня имеется террикон который имеет форму урезанной пирамиды я знаю его S нижнего основания, h - высоту и угол между его основанием и боковой поверхностью. Вопрос в том как мне найти S верхнего основания что бы затем найти V, ну или может есть какие ни будь другие методы расчёта V без учёта S верхнего основания?

P.S: Сам как вы понимаете из выше написанного я не математик и с математическими науками знаком не достаточно хорошо, по этому прошу не судить строго и помочь в решении этой задачи.

[Joker_vD]

Все очень просто: гляньте на террикон сбоку, и вы увидите равнобедренную трапецию. Вы знаете ($S_\text{нижн}=\frac14\pi D_\text{нижн}$) длину нижнего основания, высоту трапеции $h$ и угол $\alpha$ при основании. Опускайте из верхних вершин высоты на нижнее основание, находите неизвестные катеты у получившихся двух прямоугольных треугольников... дальше очевидно.

[Tia]

Joker_vD в сообщении #528061 писал(а):

Вы знаете ($S_\text{нижн}=\frac14\pi D_\text{нижн}$) длину нижнего основания, высоту трапеции $h$ и угол $\alpha$ при основании.

Не понятна формула площади нижнего основания. Основание террикона схоже на прямоугольник, поэтому я находил его площадь по формуле площади прямоугольника. Можете подробнее объяснить?

[Joker_vD]

Ой, я почему-то подумал, что у вас усеченный конус, а в основании — окружность. Извините.

Но все равно: глядим на террикон с двух разных сторон, видим две разные трапеции. Выражаем длину верхнего основания трапеции через длину нижнего основания трапеции по описанной схеме, получаем стороны верхнего основания пирамиды, перемножаем, вот и его площадь.

Хм, а интересно, зависит ли от формы основания пирамиды (треугольник, прямоугольник, круг) то, как площадь верхнего основания зависит от площади нижнего? По идее не должно бы.

[ИСН]

По идее не должно, однако зависит.

[Tia]

Joker_vD в сообщении #528093 писал(а):

Ой, я почему-то подумал, что у вас усеченный конус, а в основании — окружность. Извините.

Но все равно: глядим на террикон с двух разных сторон, видим две разные трапеции. Выражаем длину верхнего основания трапеции через длину нижнего основания трапеции по описанной схеме, получаем стороны верхнего основания пирамиды, перемножаем, вот и его площадь.

Хм, а интересно, зависит ли от формы основания пирамиды (треугольник, прямоугольник, круг) то, как площадь верхнего основания зависит от площади нижнего? По идее не должно бы.

Спасибо!

[Евгений Машеров]

Зависит. Причём не только от "формы вообще" (в смысле круг это или прямоугольник), но и от соотношения сторон.
Вот, скажем, высота 10 метров, угол $45^o$, площадь прямоугольного основания 1600 квадратных метров. Если основание квадрат 40х40, то верхний срез имеет размеры 20х20 и площадь 400 квадратных метров (это максимум для прямоугольных оснований), если основание 80х20, то верхний срез имеет нулевую площадь (поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность - минимум), если промежуточные размеры - любое промежуточное значение, скажем, для 64х25 будет 220 квадратных метров. Чем ближе основание к кругу, тем, в данном случае, больше площадь верхнего основания (в данном случае, при площади основания 1600 кв.м. его диаметр будет 45.14 метра, диаметр верхнего среза 25.14 и его площадь 496.2 кв. м)

[Евгений Машеров]

То есть для прямоугольного основания вычислить площадь верхнего среза, зная лишь площадь основания S, невозможно. Надо знать стороны прямоугольника a и b, S=ab.
Тогда её объём $V=\frac 1 3 h(ab+(a-2h\ctg \alpha)(b-2h\ctg \alpha)+\sqrt{ab(a-2h\ctg \alpha)(b-2h\ctg \alpha$)})$

-- 18 янв 2012, 14:17 --

Однако, глядя на реальные терриконы, начинаешь сомневаться в их прямоугольности.

Возможно, круг будет более близким приближением к его, основания, реальной форме.
Для него уже можно найти объём, исходя из площади основания.
$V=\frac 1 3 h(S+\sqrt S (\sqrt S - \sqrt \pi h\ctg\alpha)+(\sqrt S-\sqrt \pi h\ctg\alpha)^2)$

[Tia]

Евгений Машеров в сообщении #528286 писал(а):

Однако, глядя на реальные терриконы, начинаешь сомневаться в их прямоугольности.

Формы насыпи терриконов достаточно разнообразны: встречаются терриконы которые по форме насыпи близки к конусу, некоторые к пирамиде. В случае когда верхушка террикона "срезана" то это уже по форме усеченный конус или усеченная пирамида.

Поэтому объемы приходится вычислять по формулам, которые соответствуют определенной фигуре (террикону).

[Евгений Машеров]

Есть формула для объёма, для некоторых тел (обычные и усечённые пирамиды и конусы, шар, шаровой сегмент и др.) точная, а для многих приближённая с хорошей точностью (она следует из формулы интегрирования Симпсона, и если изменение площади сечения от высоты хорошо приближается квадратичной зависимостью, достаточно точна).
$V=(S_1+4S_2+S_3)h/6$
Где $S_1$ - площадь основания, $S_2$ - площадь среза посредине (по высоте h/2), $S_2$ - площадь верхнего среза.
Если интересующий объект нанесён на карту с проведенными горизонталями, то, найдя площадь, ограниченную соответствующими горизонталями (планиметром, палеткой и т.п.), легко получить объём.

[Tia]

Евгений Машеров в сообщении #528750 писал(а):

Есть формула для объёма, для некоторых тел (обычные и усечённые пирамиды и конусы, шар, шаровой сегмент и др.) точная, а для многих приближённая с хорошей точностью
$V=(S_1+4S_2+S_3)h/6$
Где $S_1$ - площадь основания, $S_2$ - площадь среза посредине (по высоте h/2), $S_2$ - площадь верхнего среза.
Если интересующий объект нанесён на карту с проведенными горизонталями, то, найдя площадь, ограниченную соответствующими горизонталями (планиметром, палеткой и т.п.), легко получить объём.

А данные для вычисления площади среза посредине$S_2$ как находить?

Евгений Машеров в сообщении #528750 писал(а):

Если интересующий объект нанесён на карту с проведенными горизонталями, то, найдя площадь, ограниченную соответствующими горизонталями (планиметром, палеткой и т.п.), легко получить объём.

Не очень понятно как это сделать? Я использую терриконы именно нанесенные на карту.

[Евгений Машеров]

Ну, если соответствующая горизонталь проведена - то по площади ограниченной ей фигуры. Если не проведена - надо провести, интерполируя между имеющимися.
А вот нахождение площади сложной фигуры - использовали три способа:
1. Палетка. Прозрачная пластинка с сеткой. Накладывали на изображение, и считали квадратики (сначала "большие" целиком внутри измеряемой фигуры, затем "маленькие" по краям). Занятие нудное и медитативное.

2. Планиметр. Механическое устройство, обводя иглой которого контур фигуры, получали на счётчике её, фигуры, площадь.

Выпускаются и сейчас, уже с электронными датчиками.

3. Вырезали фигуру такой же формы из картона и взвешивали на весах. Сравнивая с весом картона известной площади - получали площадь фигуры.

[Tia]

Евгений Машеров в сообщении #528750 писал(а):

$V=(S_1+4S_2+S_3)h/6$
Где $S_1$ - площадь основания, $S_2$ - площадь среза посредине (по высоте h/2), $S_2$ - площадь верхнего среза.

Площадь среза посредине можно как-то выразить из имеющихся данных h, площади основания, площадь верхнего среза или следует измерять необходимые данные для каждого террикона?

[Евгений Машеров]

Если Вы знаете форму оснований - можно. Если только площадь - нет.

[Tia]

Евгений Машеров в сообщении #528843 писал(а):

Если Вы знаете форму оснований - можно. Если только площадь - нет.

Форму оснований я знаю: круг (можно измерить радиус) или прямоугольник (можно измерить длину и ширину).
Можете написать, как исходя из имеющихся данных выразить формулу площади среза посередине?