2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычисление объема террикона
Сообщение17.01.2012, 19:55 


17/01/12
10
Столкнулся с проблемой при написание своей дипломной работы на экологическую тематику. Проблема заключается в следующем: у меня имеется террикон который имеет форму урезанной пирамиды я знаю его S нижнего основания, h - высоту и угол между его основанием и боковой поверхностью. Вопрос в том как мне найти S верхнего основания что бы затем найти V, ну или может есть какие ни будь другие методы расчёта V без учёта S верхнего основания?

P.S: Сам как вы понимаете из выше написанного я не математик и с математическими науками знаком не достаточно хорошо, по этому прошу не судить строго и помочь в решении этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение17.01.2012, 20:44 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Все очень просто: гляньте на террикон сбоку, и вы увидите равнобедренную трапецию. Вы знаете ($S_\text{нижн}=\frac14\pi D_\text{нижн}$) длину нижнего основания, высоту трапеции $h$ и угол $\alpha$ при основании. Опускайте из верхних вершин высоты на нижнее основание, находите неизвестные катеты у получившихся двух прямоугольных треугольников... дальше очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение17.01.2012, 21:18 


17/01/12
10
Joker_vD в сообщении #528061 писал(а):
Вы знаете ($S_\text{нижн}=\frac14\pi D_\text{нижн}$) длину нижнего основания, высоту трапеции $h$ и угол $\alpha$ при основании.


Не понятна формула площади нижнего основания. Основание террикона схоже на прямоугольник, поэтому я находил его площадь по формуле площади прямоугольника. Можете подробнее объяснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение17.01.2012, 21:58 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Ой, я почему-то подумал, что у вас усеченный конус, а в основании — окружность. Извините.

Но все равно: глядим на террикон с двух разных сторон, видим две разные трапеции. Выражаем длину верхнего основания трапеции через длину нижнего основания трапеции по описанной схеме, получаем стороны верхнего основания пирамиды, перемножаем, вот и его площадь.

Хм, а интересно, зависит ли от формы основания пирамиды (треугольник, прямоугольник, круг) то, как площадь верхнего основания зависит от площади нижнего? По идее не должно бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение17.01.2012, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13262
с Территории
По идее не должно, однако зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение17.01.2012, 22:29 


17/01/12
10
Joker_vD в сообщении #528093 писал(а):
Ой, я почему-то подумал, что у вас усеченный конус, а в основании — окружность. Извините.

Но все равно: глядим на террикон с двух разных сторон, видим две разные трапеции. Выражаем длину верхнего основания трапеции через длину нижнего основания трапеции по описанной схеме, получаем стороны верхнего основания пирамиды, перемножаем, вот и его площадь.

Хм, а интересно, зависит ли от формы основания пирамиды (треугольник, прямоугольник, круг) то, как площадь верхнего основания зависит от площади нижнего? По идее не должно бы.




Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение18.01.2012, 08:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6592
Москва
Зависит. Причём не только от "формы вообще" (в смысле круг это или прямоугольник), но и от соотношения сторон.
Вот, скажем, высота 10 метров, угол $45^o$, площадь прямоугольного основания 1600 квадратных метров. Если основание квадрат 40х40, то верхний срез имеет размеры 20х20 и площадь 400 квадратных метров (это максимум для прямоугольных оснований), если основание 80х20, то верхний срез имеет нулевую площадь (поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты капитана Очевидность - минимум), если промежуточные размеры - любое промежуточное значение, скажем, для 64х25 будет 220 квадратных метров. Чем ближе основание к кругу, тем, в данном случае, больше площадь верхнего основания (в данном случае, при площади основания 1600 кв.м. его диаметр будет 45.14 метра, диаметр верхнего среза 25.14 и его площадь 496.2 кв. м)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение18.01.2012, 13:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6592
Москва
То есть для прямоугольного основания вычислить площадь верхнего среза, зная лишь площадь основания S, невозможно. Надо знать стороны прямоугольника a и b, S=ab.
Тогда её объём $V=\frac 1 3 h(ab+(a-2h\ctg \alpha)(b-2h\ctg \alpha)+\sqrt{ab(a-2h\ctg \alpha)(b-2h\ctg \alpha$)})$

-- 18 янв 2012, 14:17 --

Однако, глядя на реальные терриконы, начинаешь сомневаться в их прямоугольности.
Изображение
Возможно, круг будет более близким приближением к его, основания, реальной форме.
Для него уже можно найти объём, исходя из площади основания.
$V=\frac 1 3 h(S+\sqrt S (\sqrt S - \sqrt \pi h\ctg\alpha)+(\sqrt S-\sqrt \pi  h\ctg\alpha)^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение18.01.2012, 16:10 


17/01/12
10
Евгений Машеров в сообщении #528286 писал(а):
Однако, глядя на реальные терриконы, начинаешь сомневаться в их прямоугольности.




Формы насыпи терриконов достаточно разнообразны: встречаются терриконы которые по форме насыпи близки к конусу, некоторые к пирамиде. В случае когда верхушка террикона "срезана" то это уже по форме усеченный конус или усеченная пирамида.

Поэтому объемы приходится вычислять по формулам, которые соответствуют определенной фигуре (террикону).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение19.01.2012, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6592
Москва
Есть формула для объёма, для некоторых тел (обычные и усечённые пирамиды и конусы, шар, шаровой сегмент и др.) точная, а для многих приближённая с хорошей точностью (она следует из формулы интегрирования Симпсона, и если изменение площади сечения от высоты хорошо приближается квадратичной зависимостью, достаточно точна).
$V=(S_1+4S_2+S_3)h/6$
Где $S_1$ - площадь основания, $S_2$ - площадь среза посредине (по высоте h/2), $S_2$ - площадь верхнего среза.
Если интересующий объект нанесён на карту с проведенными горизонталями, то, найдя площадь, ограниченную соответствующими горизонталями (планиметром, палеткой и т.п.), легко получить объём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение19.01.2012, 12:09 


17/01/12
10
Евгений Машеров в сообщении #528750 писал(а):
Есть формула для объёма, для некоторых тел (обычные и усечённые пирамиды и конусы, шар, шаровой сегмент и др.) точная, а для многих приближённая с хорошей точностью
$V=(S_1+4S_2+S_3)h/6$
Где $S_1$ - площадь основания, $S_2$ - площадь среза посредине (по высоте h/2), $S_2$ - площадь верхнего среза.
Если интересующий объект нанесён на карту с проведенными горизонталями, то, найдя площадь, ограниченную соответствующими горизонталями (планиметром, палеткой и т.п.), легко получить объём.



А данные для вычисления площади среза посредине$S_2$ как находить?


Евгений Машеров в сообщении #528750 писал(а):
Если интересующий объект нанесён на карту с проведенными горизонталями, то, найдя площадь, ограниченную соответствующими горизонталями (планиметром, палеткой и т.п.), легко получить объём.


Не очень понятно как это сделать? Я использую терриконы именно нанесенные на карту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение19.01.2012, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6592
Москва
Ну, если соответствующая горизонталь проведена - то по площади ограниченной ей фигуры. Если не проведена - надо провести, интерполируя между имеющимися.
А вот нахождение площади сложной фигуры - использовали три способа:
1. Палетка. Прозрачная пластинка с сеткой. Накладывали на изображение, и считали квадратики (сначала "большие" целиком внутри измеряемой фигуры, затем "маленькие" по краям). Занятие нудное и медитативное.
Изображение
2. Планиметр. Механическое устройство, обводя иглой которого контур фигуры, получали на счётчике её, фигуры, площадь.
Изображение
Выпускаются и сейчас, уже с электронными датчиками.
Изображение
3. Вырезали фигуру такой же формы из картона и взвешивали на весах. Сравнивая с весом картона известной площади - получали площадь фигуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение19.01.2012, 14:37 


17/01/12
10
Евгений Машеров в сообщении #528750 писал(а):
$V=(S_1+4S_2+S_3)h/6$
Где $S_1$ - площадь основания, $S_2$ - площадь среза посредине (по высоте h/2), $S_2$ - площадь верхнего среза.




Площадь среза посредине можно как-то выразить из имеющихся данных h, площади основания, площадь верхнего среза или следует измерять необходимые данные для каждого террикона?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение19.01.2012, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6592
Москва
Если Вы знаете форму оснований - можно. Если только площадь - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление объема террикона
Сообщение19.01.2012, 15:09 


17/01/12
10
Евгений Машеров в сообщении #528843 писал(а):
Если Вы знаете форму оснований - можно. Если только площадь - нет.



Форму оснований я знаю: круг (можно измерить радиус) или прямоугольник (можно измерить длину и ширину).
Можете написать, как исходя из имеющихся данных выразить формулу площади среза посередине?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group