2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 12:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Последовательность $(x_{n\in\mathbb N_0})$ задана рекурсивно:
$$
\begin{cases}
x_0=a\in\mathbb R \\
x_{n+1}=2x_n^2-1
\end{cases}
$$

а) Указать 5 попарно различных значений $ a $, при каждом из которых эта последовательность имеет предел.

б) Доказать, что таких значений бесконечно много.

(из задач, предлагавшихся на олимпиадах по математике студентов технических вузов г. Москвы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Пять никак нельзя указать.
Три — пожалуйста: -1;0;1. Они так и просятся. А при остальных последовательность расходится.
Хотя чисто формально она предел имеет в виде плюс бесконечности.
Правда, это только для целых...
А для нецелых ещё половинки просятся.
Ну и корни, конечно. Корень из трёх пополам. Да их там не меньше сорока пяти тыщ!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 12:53 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Можно решить уравнение $\frac{f(x)}{f'(x)}=-2x^2+x-1$ и найти $f(x)$, для которой искомое множество всех $a$ - это множество аргументов, от которых метод Ньютона сходится к корню. Скорее всего их несчетное множество (и указывать их можно достаточно произвольно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 14:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
$a=\cos{(\pi/2^m)}$, $m=0,1,2,\dots$ Насчёт континуума значений $a$ --- кажется, тоже верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 14:09 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris в сообщении #523285 писал(а):
Пять никак нельзя указать.

$\frac{\sqrt 2}{2}$, $\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt 2}}}{2}$, $\frac{\sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt 2}}}}{2}$, $\frac{\sqrt{2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt 2}}}}}{2}$
и так далее :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Ну я же только для целых. Рациональных 5, а вот с корнями много. Только вот вроде бы все значения алгебраические. Как же их может быть континуум?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 14:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Я имел в виду следующее. Пусть $a=\cos{\theta}$, тогда $x_n=\cos{(2^n\theta)}$. Для (как мне кажется) континуума $\theta$ может существовать предел $\cos{(2^n\theta)}$. Число $\theta$ надо брать таким, чтобы $\theta/\pi$ было числом Лиувилля (хорошо приближалось рациональными дробями). Вот такие вот соображения (аккуратно не проверял).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 14:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Пределами (конечными) могут быть только корни уравнения $x=2x^2-1$, т.е. $1$ и $-\frac12$. Однако эти точки неустойчивы, т.к. производная правой части в них по модулю больше единицы. Так что последовательность может сходиться только в том случае, если она, начиная с некоторого номера, стационарна, т.е. если через несколько шагов она упирается в один из тех корней. Т.е. каждое следующее подходящее начальное приближение получается из предыдущего решением уравнения $2a_{k+1}^2-1=a_k$, где $a_0$ -- это $1$ или $-\frac12$. На первом шаге находим два новых подходящих начальных приближения: $a_1=-1,\;\frac12$. На втором -- ещё три: $a_2=\pm\frac{\sqrt3}2,\;0$. И т.д. Т.е. все подходящие начальные приближения задаются рекуррентными соотношениями $a_{k+1}=\pm\sqrt{\frac{1+a_k}2}$ (здесь не одно соотношение, а очень-очень много). Ну так уже последовательность $a_{k+1}=\sqrt{\frac{1+a_k}2}$ при $a_0=-\frac12$ (например) очевидно строго монотонна и, значит, уже только она порождает бесконечно много подходящих начальных приближений.

gris в сообщении #523322 писал(а):
Как же их может быть континуум?

Никак, естественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 14:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #523335 писал(а):
Так что последовательность может сходиться только в том случае, если она, начиная с некоторого номера, стационарна ...
Уверены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 14:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #523339 писал(а):
Уверены?

А почему нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 14:50 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Вот последовательность $\sin{(2\pi n!e)}$ имеет предел, но не стационарна. Почему бы и для нашей $x_n$ такому не случится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
nnosipov в сообщении #523331 писал(а):
Я имел в виду следующее. Пусть $a=\cos{\theta}$, тогда $x_n=\cos{(2^n\theta)}$. Для (как мне кажется) континуума $\theta$ может существовать предел $\cos{(2^n\theta)}$. Число $\theta$ надо брать таким, чтобы $\theta/\pi$ было числом Лиувилля (хорошо приближалось рациональными дробями). Вот такие вот соображения (аккуратно не проверял).
nnosipov в сообщении #523346 писал(а):
Вот последовательность $\sin{(2\pi n!e)}$ имеет предел, но не стационарна. Почему бы и для нашей $x_n$ такому не случится?
Потому что $\{n!e\} \sim \frac 1 n$ при $n \to \infty$, а $\{2^n \theta \} \to 0$ только тогда, когда $\theta$ - конечная двоичная дробь, т.е. $\theta = k 2^m$ для целых $k$ и $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 15:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #523346 писал(а):
Вот последовательность $\sin{(2\pi n!e)}$ имеет предел, но не стационарна.

А при чём тут эта-то последовательность?...

nnosipov в сообщении #523346 писал(а):
Почему бы и для нашей $x_n$ такому не случится?

Потому что стационарные точки неустойчивы, притом с большим запасом. А это означает, что если какая-либо последовательность даже и подберётся достаточно близко к одной из этих точек, то её немедленно начнёт отбрасывать от этой точки с экспоненциальной скоростью за пределы некоторой заведомо немаленькой окрестности. Т.е. сойтись к этой точке она никак не сможет. Если только в какой-то момент не упрётся случайно ровно в неё, а это и есть стационарность последовательности начиная с некоторого номера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 18:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
nnosipov в сообщении #523331 писал(а):
Для (как мне кажется) континуума $\theta$ может существовать предел $\cos{(2^n\theta)}$. Число $\theta$ надо брать таким, чтобы $\theta/\pi$ было числом Лиувилля (хорошо приближалось рациональными дробями). Вот такие вот соображения (аккуратно не проверял).
Да, показалось. Всё-таки $2^n$ не слишком быстро растёт для того, чтобы числа Лиувилля здесь оказались полезными. С другой стороны, дело даже не в скорости роста, а в более тонких свойствах. Если, скажем, $\theta$ --- квадратичная иррациональность (или даже плохо приближаемое число), а $q_n$ --- знаменатели подходящих дробей к $\theta$, то $\|q_n\theta\| \to 0$ ($\|\cdot\|$ --- расстояние до ближайшего целого числа), при этом $q_n$ растёт всего лишь экспоненциально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение05.01.2012, 18:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
gris в сообщении #523322 писал(а):
Как же их может быть континуум?

$x_{n+1}=2x_n^2-1$ перепишем как $x_{n+1}=x_n-(-2x_n^2+x_n+1)$, скобку обозначим как $\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ и получаем метод Ньютона для функции $f$. Ищем $f$: $\frac{df}{f}=-\frac{dx}{2x^2-x-1} \Leftrightarrow f(x)=C\sqrt[3]{1+\frac{3/2}{x-1}}$. Функция имеет корень $\frac{1}{3}$ в $(0;1)$, некратный, значит кривизна в окрестности постоянна, значит число исходных точек в $(\varepsilon ; \frac{1}{3})$, откуда сходится метод Ньютона - континуум.

UPD: Решение кривое - не читайте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group