Предел последовательности

[gris]

Так Вы думаете, что в данной задаче есть сходящиеся последовательности, не являющиеся постоянными, начиная с некоторого номера?

[Sonic86]

gris в сообщении #523482 писал(а):

Так Вы думаете, что в данной задаче есть сходящиеся последовательности, не являющиеся постоянными, начиная с некоторого номера?

Ну получается, что так. Наверное, это несложно промоделировать

[ewert]

Sonic86 в сообщении #523474 писал(а):

и получаем метод Ньютона для функции $f$.

Да при чём тут метод Ньютона. Ведь очевидно же, что никакая нестационарная последовательность сходиться ни к одной из тех двух точек не может в принципе.

[gris]

Не получается. Я уж попробовал Вы хотите сказать, что существует интервал таких значений? Вблизи 1 и -0.5 быстро выкидывает или вперёд, или назад в отрицательные значения с последующим возвратом.

Ну а стационарных счётное число.

[Sonic86]

gris в сообщении #523487 писал(а):

Не получается. Я уж попробовал Вы хотите сказать, что существует интервал таких значений? Вблизи 1 и -0.5 быстро выкидывает или вперёд, или назад в отрицательные значения с последующим возвратом.

Да. Глазиками посмотрел - она какая-то хаотическая. Интересно, а где у меня ошибка...

Если предположить, что последовательность имеет интервал $(x,y)$ значений, где она сходится, то, считая $0<x<y$ из условия $f((x,y)) \subset (x,y)$ получаем противоречие...

А еще можно на это дело посмотреть как на итерационный метод $x_{n+1}=\varphi (x_n)$, который сходится к корню $x_0$ уравнения $x = \varphi (x)$, если $|\varphi '(x_0)|<1$............

[ewert]

Мне вот тоже интересно, где у меня заскок.

Я там предложил вроде как континуум рекуррентных последовательностей, порождающих начальные данные.

И ниоткуда априори (т.е. отвлекаясь от вида самого уравнения) вроде как не следует, что весь этот континуум (ну или хоть его достаточно большая часть) не реализуется.

И ниоткуда (опять же априори) не следует, что множества начальных данных, порождаемых каждой из последовательностей, должны хоть как-то пересекаться.

Т.е. множество начальных данных вообще должно вроде как иметь право быть континуальным. Во всяком случае, непонятно, что может этому противоречить, если исходить из общих соображений. Но: вот же оно -- явно пронумеровано!

Какая-то (для меня лично) загадка.

[svv]

ewert писал(а):

Я там предложил вроде как континуум рекуррентных последовательностей, порождающих начальные данные.

Не континуум, так как у Вас -- множество таких исходных точек, которые за конечное количество шагов приводят к стационарным. Континуум -- это множество бесконечных последовательностей.

[gris]

Вот и я чего-то никак не пойму. Ведь стационарных точек только две. Назад шагнуть можно двумя способами. Откуда же континуум? Хотя бы и последовательностей.

[ewert]

Но там же множество всех рекуррентных последовательностей с плюс-минусами, причём в каждой на каждом шагу плюс или минус можно выбирать независимо от остальных (априори). А это -- континуум.

[gris]

То есть получаются как бы бесконечные двоичные дроби.

[ewert]

Так вот: из каких же принципиальных соображений может следовать неконтинуальность этих точек?... (кроме, конечно, его очевидно счётности)

[svv]

gris в сообщении #523528 писал(а):

То есть получаются как бы бесконечные двоичные дроби.

Почему бесконечные? Как угодно длинные, но всегда лишь конечные. А множество таких -- счетно.
Как Вы докажете, что в множество входят и такие точки, которые не переходят в стационарные ни за какое конечное количество шагов?

[gris]

Ну да, каждая дробь конечна. Я считал назад, от номера достижения стационарности, там это виднее. Но их же счётное количество. А чего же тогда континуум???

[ewert]

svv в сообщении #523536 писал(а):

Почему бесконечные? Как угодно длинные, но всегда лишь конечные.

Ну множество последовательностей-то вообще -- континуально. Вопрос, собственно, в чём: где конкретно в этой цепочке возникает разрыв, приводящий в конце концов к счётности?...

(ну я понимаю, что вопрос празден, но всё же маленько тревожит)

[svv]

Априори мы вправе рассматривать как конечные, так и бесконечные цепочки. Только в этой задаче для бесконечных цепочек не получится показать, что они обладают нужным свойством: начинаются с некоторого числа, не входящего в построенное Вами счетное множество "хороших" начальных точек (для конечных цепочек), и в конце концов тоже приходят к стационарному значению. Не приходят к стационарному за конечное число шагов -- это то же, что просто не приходят. Соответственно, эти бесконечные и не включаем в наше множество.

-- Чт янв 05, 2012 23:32:34 --

Уважаемая Ktina! Я так и знал... Прочитав условие задачи, я сразу заподозрил, что Ваше любимое слово "попарно" Вы вставили самовольно. Ну да, конечно -- в оригинальном условии этого слова нет:
http://www.baumo.narod.ru/Zelechi.pdf (страница 2)
Это просто невозможно.