Вычислить тройной интеграл

[Anexroid]

$$I = \int\int\limits_{D}\int (x + y + z) dxdydz$$

где $D = \left\{ x^2 + y^2 < 1, x + y + z < 2, z > 0\right\}$

Собственно, насколько я понимаю надо как то заменить переменные и перейти к повторному интегралу.
Переходим в сферические координаты

$$ \begin{cases} x = r \sin{\theta} \cos{\varphi} \\ y = r \sin{\theta} \sin{\varphi} \\ z = r \cos{\theta} \end{cases} $$

На Википедии написано, что интеграл после такой замены должен преобразоваться к интегралу по $D'$
Непонятно, что такое $D'$

По сути, $D'$ - это множество. Как можно его продифференцировать?


А вот что делать дальше, мне непонятно, т.к после подстановки получается что то непонятное...

[Dan B-Yallay]

A почему переходите к сферическим координатам? Цилиндрические были бы более естественными в этой задаче.

Anexroid в сообщении #512564 писал(а):

На Википедии написано, что интеграл после такой замены должен преобразоваться к интегралу по $D'$
Непонятно, что такое $D'$
По сути, $D'$ - это множество. Как можно его продифференцировать?

Чуть со стула не упал.

[Anexroid]

Dan B-Yallay в сообщении #512577 писал(а):

A почему переходите к сферическим координатам? Цилиндрические были бы более естественными в этой задаче.

Ну, можно перейти и к цилиндрическим, правда мне не совсем понятно как определить к каким переходить.
В цилндрических получим следующее:

$$ \begin{cases} x = r \cos{\varphi} \\ y = r \sin{\varphi} \\ z = h \end{cases} $$

Dan B-Yallay в сообщении #512577 писал(а):

Чуть со стула не упал.

Не так выразился. Множество у нас задано не функцией, а системой неравенств. С функцией я бы сразу разобрался, а вот здесь не совсем понимаю что делать

-- Ср дек 07, 2011 23:04:55 --

Вообще, я так понял, что надо воспользоваться теоремой Фубини... Только непонятно как.

[SpBTimes]

$D'$ - это область, которая получится в новой системе координат. Т.е область то старой останется, но записана будет по-другому. И ничего не нужно дифференцировать

[Dan B-Yallay]

Насчет $D$ и $D'$ - смотри рисунок. Здесь штрих никакого отношения к производным не имеет.

Фубини?
Просто заменяйте переменные, посмотрите пределы интегрирования и (не забывая про якобиан перехода) интегрируете.

[SpBTimes]

Dan B-Yallay
что это вы такое сделали?

[Dan B-Yallay]

SpBTimes в сообщении #512591 писал(а):

Dan B-Yallay
что это вы такое сделали?

Это наглядный пример перехода от декартовых к полярным координатам для полукруга:

$$\begin{align} -1 \leqslant x \leqslant 1, & \quad 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{1-x^2} \\ 0\leqslant r \leqslant 1, & \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \end{align}$$

Отвлекся и не пояснил на рисунке.

[SpBTimes]

Dan B-Yallay
аа, тогда ясно, а то аж удивился)

[Anexroid]

SpBTimes в сообщении #512589 писал(а):

$D'$ - это область, которая получится в новой системе координат. Т.е область то старой останется, но записана будет по-другому. И ничего не нужно дифференцировать

Понял, спасибо.

Dan B-Yallay в сообщении #512590 писал(а):

Фубини?
Просто заменяйте переменные, посмотрите пределы интегрирования и (не забывая про якобиан перехода) интегрируете.

Ну,если просто подставить переменные, получим

$$\int\int\int (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdrd{\varphi}dh$$

А множество $D'$ будет задаваться следующим образом:

$$ \begin{cases} r^2 < 1 \\ r\cos{\varphi} + r\sin{\varphi} + h < 2 \\ h > 0 \end{cases} $$

И что дальше?

[SpBTimes]

ну теперь пределы ставьте. Область всё равно надо рисовать

[Ales]

К сферическим координатам переходят если есть сферическая симметрия, когда есть сферы, шары.
А у Вас фигура - кусок цилиндра между двумя плоскостями - требуются цилиндрические координаты.
Поэтому надо сначала проинтегрировать по z, а потом переходить к полярным координатам.

[Anexroid]

Ну, цилиндр я на графике построил. А вот плоскости какие-то странные получаются...

[Dan B-Yallay]

Какие такие странные?

[Ales]

Anexroid в сообщении #512605 писал(а):

Ну, цилиндр я на графике построил. А вот плоскости какие-то странные получаются...

Чего же в них странного: одна плоскость $z=0$, на ней стоит усеченный цилиндр.
Другая плоскость $x+y+z=2$, та что косо сечет этот цилиндр, ограничивая область интегрирования сверху.
Значит $z$ меняется от $0$ до $2-x-y$.

[Anexroid]

Ales в сообщении #512609 писал(а):

Чего же в них странного: одна плоскость $z=0$, на ней стоит усеченный цилиндр.
Другая плоскость $x+y+z=2$, та что косо сечет этот цилиндр, ограничивая область интегрирования сверху.
Значит $z$ меняется от $0$ до $2-x-y$.

А, ну для исходных то координат я это понял. Я говорил про цилиндрические...

Ну, тогда получается, что в новых координатах, $z$ меняется от $0$ до $2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}$ ?