Вычислить тройной интеграл

[Ales]

Anexroid в сообщении #512612 писал(а):

Ales в сообщении #512609 писал(а):

Чего же в них странного: одна плоскость $z=0$, на ней стоит усеченный цилиндр.
Другая плоскость $x+y+z=2$, та что косо сечет этот цилиндр, ограничивая область интегрирования сверху.
Значит $z$ меняется от $0$ до $2-x-y$.

А, ну для исходных то координат я это понял. Я говорил про цилиндрические...

Ну, тогда получается, что в новых координатах, $z$ меняется от $0$ до $2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}$ ?

Несомненно (простейшая алгебраическая выкладка). Непонятно, почему Вы задаете такие простые вопросы.

[Anexroid]

Ну, то есть получаем следующий интеграл:

$$\int\limits_{S}\int (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdrd\varphi\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}dh$$

?
И как его считать дальше?

Ну, по идее, $\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}dh$ должно быть равно просто $2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}$

[Ales]

Anexroid в сообщении #512623 писал(а):

Ну, то есть получаем следующий интеграл:

$$\int\limits_{S}\int (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdrd\varphi\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}dh$$

?
И как его считать дальше?

Ну, по идее, $\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}dh$ должно быть равно просто $2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}$

Но только не следует забывать, что подинтегральное выражение включает в себя $h$.
Поэтому $\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh$.

Если Вы перейдете к полярным координатам после интегрирования по $h=z$, то Ваши выкладки будут короче. Экономия времени, чернил и бумаги.

[Anexroid]

Ales в сообщении #512626 писал(а):

Но только не следует забывать, что подинтегральное выражение включает в себя $h$.
Поэтому $\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh$.

Если Вы перейдете к полярным координатам после интегрирования по $h=z$, то Ваши выкладки будут короче. Экономия времени, чернил и бумаги.

То есть исходный преобразовывается к двойному и $\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh$

Далее, получаем следующее:

$$\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh = (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi})(2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})$$

Верно?

После этого, мы должны вычислить

$$\int\limits_{S}\int (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi}) \cdot (2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})rdrd\varphi$$

И как это сделать?

[Ales]

Anexroid в сообщении #512633 писал(а):

Ales в сообщении #512626 писал(а):

Но только не следует забывать, что подинтегральное выражение включает в себя $h$.
Поэтому $\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh$.

Если Вы перейдете к полярным координатам после интегрирования по $h=z$, то Ваши выкладки будут короче. Экономия времени, чернил и бумаги.

То есть исходный преобразовывается к двойному и $\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh$

Далее, получаем следующее:

$$\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh = (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi})(2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})$$

Верно?

После этого, мы должны вычислить

$$\int\limits_{S}\int (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi}) \cdot (2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})rdrd\varphi$$

И как это сделать?

Нет, не верно. Надо интегрировать по $h$, не забывая про интеграл $hdh$.
Непонятно, почему вы знаете такие слова "теорема Фубини", но не владеете элементарными приемами интегрирования.
Это значит, что Вы вообще ничего не понимаете, и что Вас учат неправильно.

-- Ср дек 07, 2011 21:07:13 --

Самое правильное в Вашем положении - списать решение задачи у товарища.

-- Ср дек 07, 2011 21:11:31 --

Но если хотите понять и научиться решать, то попробуйте сначала решать двойные интегралы.
И забудьте про такие слова "теорема Фубини".
Такие интегралы вычисляли еще за двести лет до его рождения.

[Anexroid]

Упс, верно, забыл про $hdh$, случайно.

Получаем так:

$$\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}} (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh = (2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})r \int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}hdh = $$ $$ = (2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})r \cdot \left. \frac{h^2}{2}\right|^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}_{0} = $$ $$ = (2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})r(2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})^2 =r(2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})^3 $$

-- Чт дек 08, 2011 01:23:16 --

Ales в сообщении #512650 писал(а):

Самое правильное в Вашем положении - списать решение задачи у товарища.

Я понять хочу, а не списать.

[Ales]

Anexroid в сообщении #512658 писал(а):

Упс, верно, забыл про $hdh$, случайно.

Получаем так:

$$\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}} (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh = (2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})r \int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}hdh = $$ $$ = (2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})r \cdot \left. \frac{h^2}{2}\right|^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}_{0} = $$ $$ = (2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})r(2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})^2 =r(2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi})^3 $$

-- Чт дек 08, 2011 01:23:16 --

Ales в сообщении #512650 писал(а):

Самое правильное в Вашем положении - списать решение задачи у товарища.

Я понять хочу, а не списать.

Если хотите понять, то попытайтесь решить этот интеграл (просто одинарный интеграл по $dh$) правильно. А то у Вас как-то алгебра совсем хромает. Какие-то неверные выкладки и переходы между выражениями.

[Anexroid]

Разделить на 2 забыл.

-- Чт дек 08, 2011 02:10:41 --

Перепроверил, что-то я реально натупил)))

Вот что получается:

$$\int\limits_{0}^{2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh = $$

$$\int\limits_{0}^{2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}}(r^2\sin{\varphi} + r^2\cos{\varphi} + h)dh = $$

$$\int\limits_{0}^{2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}}(r^2(\sin{\varphi} + \cos{\varphi}))dh + r\int\limits_{0}^{2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}}hdh = $$

$$r^2(\sin{\varphi} + \cos{\varphi})(2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}) + r\frac{(2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi})^2}{2}$$

[Dan B-Yallay]

Anexroid в сообщении #512672 писал(а):

Разделить на 2 забыл.

А кто $h$ в квадрат возводить будет? Пушкин?

После возведения это дело по возможности упростить - и под двойной интеграл в полярных координатах.

[Anexroid]

Что-то у меня при упрощении только сложнее получилось...

$$\frac{-r^3(\sin^2\varphi - \cos^2\varphi) - 4(r^2\cos\varphi) - 1)}{2}$$

И насчет полярных... По сути же, преобразование к полярным ничем не отличается от цилиндрических, кроме того, что еще одно измерение добавляется. Но при двойном интеграле - измерения 2, так что ничего не изменится при переходе

[Anexroid]

Опять наврал. Вот что получается:

$$\frac{r(4 - r^2 - 2r^2\sin\varphi\cos\varphi)}{2}$$

-- Чт дек 08, 2011 04:20:46 --

Не могу понять насчет полярных координат. Ведь при переходе из цилиндричеких в полярные, $x = x', y = y'$

[Anexroid]

Привожу текущий ход решения в одном сообщение, чтобы ни мне, ни читателям, не скакать по теме

$$I = \int\int\limits_{D}\int (x + y + z) dxdydz$$

где $D = \left\{ x^2 + y^2 < 1, x + y + z < 2, z > 0\right\}$

Переходим в цилиндрическую систему координат

$$ \begin{cases} x = r \cos{\varphi} \\ y = r \sin{\varphi} \\ z = h \end{cases} $$

$$I = \int\int\int (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdrd{\varphi}dh$$

$D'$ будет задаваться следующим образом:

$$ \begin{cases} r^2 < 1 \\ r\cos{\varphi} + r\sin{\varphi} + h < 2 \\ h > 0 \end{cases} $$

В новых координатах $z$ меняется от $0$ до $2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}$

Получаем следующий интеграл:

$$\int\limits_{S}\int (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdrd\varphi\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh$$

Решаем интеграл по $dh$:

$$\int\limits_{0}^{2 - r\cos{\varphi} - r\sin{\varphi}}(r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)rdh = $$

$$\int\limits_{0}^{2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}}(r^2\sin{\varphi} + r^2\cos{\varphi} + h)dh = $$

$$\int\limits_{0}^{2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}}(r^2(\sin{\varphi} + \cos{\varphi}))dh + r\int\limits_{0}^{2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}}hdh = $$

$$r^2(\sin{\varphi} + \cos{\varphi})(2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi}) + r\frac{(2 - r\sin{\varphi} - r\cos{\varphi})^2}{2} = $$

$$\frac{r(4 - r^2 - 2r^2\sin\varphi\cos\varphi)}{2}$$

Таким образом, осталось вычислить двойной интеграл

$$\int\limits_{S}\int (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)r^2\frac{4 - r^2 - 2r^2\sin\varphi\cos\varphi}{2}drd\varphi$$

Как его вычислять мне не совсем понятно

Выше прозвучали предложения перейти в полярные координаты. Однако, при переходе из цилиндрических в полярные, $x = x', y = y'$ и ничего не изменится, или я что-то путаю?

[Dan B-Yallay]

Честно говоря, алгебраические упражнения проверять не стал. Если посчитано все верно, то оставшийся интеграл
(после перехода к полярным координатам) будет:

$$\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_0^1 (r\sin{\varphi} + r\cos{\varphi} + h)r^2\frac{4 - r^2 - 2r^2\sin\varphi\cos\varphi}{2}drd\varphi$$

Вот и интегрируйте его сначала по $r$ как полином, A затем по $\varphi$ как сумеете.

[Anexroid]

Я же говорю, что сам интеграл не изменился.
Вопрос: почему именно такие пределы интегрирования? Ведь если $r^2 < 1$, то $r$ должно меняться от $-1$ до $1$, а не от $0$
Ну и насчет $0$ и $2\pi$ хотелось бы уточнения

[Dan B-Yallay]

Anexroid в сообщении #515352 писал(а):

Вопрос: почему именно такие пределы интегрирования? Ведь если $r^2 < 1$, то $r$ должно меняться от $-1$ до $1$, а не от $0$
Ну и насчет $0$ и $2\pi$ хотелось бы уточнения

Нарисуйте пжлст круг с отрицательным радиусом. Очень любопытно глянуть.
Насчет $0, \ 2\pi$ - см. определение полярных координат.