Покажем, что знаменатель дроби

больше знаменателя дроби

(имеются в виду несократимые представления дробей). Поскольку

--- рациональное число (это можно доказать по индукции, пользуясь тем, что

), имеем

либо

для некоторых натуральных взаимно простых чисел

,

разной чётности. Далее рассматриваем первый случай (второй рассматривается аналогично, надеюсь). Тогда

Нетрудно показать, что числитель и знаменатель последней дроби взаимно просты. Кроме того, знаменатель равен

, где

. То есть больше, чем

, а это знаменатель

.
scwec, а что за монотонности Вы упоминали?