2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 14:01 


08/11/11
2
Подскажите идею как доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 14:03 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Здесь написано как набирать формулы: topic183.html У вас еще есть время исправить. Исправите - подскажу ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 15:07 


08/11/11
2
$$\sum_{k=1}^n (-1)^k \cdot k^m \cdot C_n^k=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
$m<n$, я полагаю?

Докажите (индукцией по $n$) такое: если $P$ --- многочлен степени $r$, то $\sum_{k=1}^n (-1)^k   C_n^k P(x+k)$ --- многочлен степени $r-n$ при $n\le r$ и нуль при $n>r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 15:41 


23/12/07
1763
forum_user в сообщении #501119 писал(а):
$$\sum_{k=1}^n (-1)^k \cdot k^m \cdot C_n^k=0$$

А, мот, проще напрямую просуммировать по биному, используя параметризацию?
$$\sum_{k=1}^n (-1)^k \cdot k^m \cdot C_n^k=
 \frac{d^m}{d\alpha^m}\bigg|_{\alpha = 0} \sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot e^{\alpha k} \cdot C_n^k$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 16:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(Оффтоп)

Возможно, и проще, не исследовал. Но задача-то, как мы понимаем, не о том, чтобы придумать остроумный простой способ доказательства, а о дискретной производной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 16:36 


23/12/07
1763
Хорхе

(Оффтоп)

Извиняюсь, а можно ссылочку на понятие дискретной производной? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(Оффтоп)

_hum_ в сообщении #501159 писал(а):
Хорхе
Извиняюсь, а можно ссылочку на понятие дискретной производной? :oops:

Там есть разные определения. Например, можно так:
$\Delta f(x) = f(x) - f(x-1)$. Посчитайте $\Delta^n f(x)$. Вы будете удивлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение08.11.2011, 16:55 


23/12/07
1763
Хорхе

(Оффтоп)

А, ну тогда понятно. Да, как-то выше второй никогда не приходилось использовать. Спасибо. Теперь буду иметь в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение22.11.2011, 22:22 


22/11/11
11
Помогите, пожалуйста, найти ошибку в решении этой задачи.
Обозначим через искомую сумму через $S_n(m)$.
Примем предположение индукции, что $S_n(m) = 0$, и попробуем доказать $S_{n+1}(m) = 0$.
$S_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^kk^mC_{n+1}^k $

Разложим $C_{n+1}^k$ с помощью треугольника Паскаля и запишем последний член суммы в явном виде.

$\sum_{k=1}^{n}(-1)^kk^m(C_{n}^k + C_{n}^{k-1})+(-1)^{n+1}k^mC_{n+1}^{n+1}$

Разобъем сумму на две части, а $C_{n+1}^{n+1}$ заменим на $C_{n}^{n}$

$\sum_{k=1}^{n}(-1)^kk^mC_{n}^k + \sum_{k=1}^{n}(-1)^kk^mC_{n}^{k-1}+(-1)^{n+1}k^mC_{n}^{n}
$

Левая сумма - в чистом виде $S_n(m)$, а в правую внесем $(-1)^{n+1}k^mC_{n}^{n}$ в качестве n+1-го слагаемого.

$S_n(m) + \sum_{k=1}^{n+1}(-1)^kk^mC_{n}^{k-1}$

Вынесем из суммы слагаемое при k=1 и поменяем индекс суммирования на l=k-1.

$S_n(m) + \sum_{l=1}^{n}(-1)^{l+1}(l+1)^mC_{n}^{l} + (-1)^11^mC_{n}^{0}$

Из суммы выносим минус, одновременно замечая, что $(-1)^11^mC_{n}^{0}=-1$.

$S_n(m) - \sum_{l=1}^{n}(-1)^{l}(l+1)^mC_{n}^{l} - 1$

Раскладывая $(l+1)^m$ по биному Ньютона, мы получаем, что сумма распадается на m+1 сумму $S_n(i)$ со множителями в виде соответствующих биномиальных коэффициентов. При этом каждая из этих сумм по предположению индукции равна нулю.
Таким образом, получается что $S_{n+1}(m)=-1$.
Но мы-то хотели, чтобы получился 0:)
В чем проблема, подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение24.11.2011, 15:27 


22/11/11
11
Пожалуйста, помогите!
Мозг кипит уже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение24.11.2011, 15:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Чему равна сумма $$\sum_{k=1}^n (-1)^k \cdot k^m \cdot C_n^k$$ при $m=0$? Вы думаете, что нулю, а на самом деле ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение24.11.2011, 16:00 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Ваша проблема в том что на самом деле правильная формула такая:
$\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot P(x+k) \cdot C_n^k$ (суммирование с 0)

В ней при $P(x)=x^m$ первое слагаемое исчезает. Но только при $m>0$. При $m=0$ оно не исчезает и дает недостающую 1.

В итоге вы пытаетесь доказать неверное утверждение.

Еще замечание
mpot в сообщении #506769 писал(а):
Раскладывая $(l+1)^m$ по биному Ньютона, мы получаем, что сумма распадается на m+1 сумму $S_n(i)$ со множителями в виде соответствующих биномиальных коэффициентов. При этом каждая из этих сумм по предположению индукции равна нулю.

У вас этого нет в предположении индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение24.11.2011, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ну вот к моей подсказке еще подсказка, раз Вы оффтопы не читаете. Для функции $f$ обозначим $f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k   C_n^k f(x+k) $. Докажите, что $f^{(n+1)}(x) = f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x+1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма (-1)^k*k^m*C(n,k)=0
Сообщение24.11.2011, 16:07 
Заслуженный участник


12/08/10
1680
Хорхе в сообщении #507363 писал(а):
Ну вот к моей подсказке еще подсказка, раз Вы оффтопы не читаете. Для функции $f$ обозначим $f^{(n)}(x) = \sum_{k=1}^n (-1)^k   C_n^k f(x+k) $. Докажите, что $f^{(n+1)}(x) = f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x+1)$.


Это неправда, суммировать нужно с $k=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group