Помогите разобраться с топологией Зариского

[xmaister]

Дано определние: Топологией Зариского на множестве $\mathbb{C}^n$- называется топология, в которой множество $B$- замкнуто, если оно либо совпадает со всем пространством $\mathbb{C}^n$, либо является решением системы полиномиальных уравнений.
Допустим $B_1$, $B_2$- множество решений некоторых систем полиномиальных уравнений. Как показать, что существует система, множество решений которой является множество $B_1\cup B_2$?

[Joker_vD]

Рассмотрите такой набор многочленов: $\{fg \mid f \in B_1,\; g\in B_2 \}$. Какие у них общие на всех решения?

[xmaister]

Joker_vD
Т.е. если рассмотреть произвольные системы $A_1=$ $\begin{cases}P_1(z^1,\ldots , z^n)=(0,\ldots ,0)\\\ldots\\ P_k(z^1,\ldots , z^n)=(0,\ldots ,0)\end{cases}$ и $A_2=$$\begin{cases}Q_1(z^1,\ldots , z^n)=(0,\ldots ,0)\\\ldots\\ Q_i(z^1,\ldots , z^n)=(0,\ldots ,0)\end{cases}$, $k>i$. Множество решений первой будет $B_1$, а второй $B_2$. Тогда решение системы $\begin{cases}P_1(z^1,\ldots , z^n)Q_1(z^1,\ldots , z^n)=(0,\ldots ,0)\\\ldots\\ P_i(z^1,\ldots , z^n)Q_i(z^1,\ldots , z^n)=(0,\ldots ,0)\\\ldots\\ P_k(z^1,\ldots , z^n)=(0,\ldots ,0)\end{cases}$- будет множество $B=\{(z^1\ldots , z^n)|[(z^1\ldots , z^n)- \text{решение} A_1]\vee [(z^1\ldots , z^n)- \text{решение} A_2]\}=B_1\cup B_2$.
Так?

[Joker_vD]

Ой, какая жуть. Зачем справа такая толпа нулей?

Результирующую систему чуть аккуратней выпишете, и все будет отлично.

[xmaister]

Joker_vD в сообщении #499473 писал(а):

Результирующую систему чуть аккуратней выпишете, и все будет отлично.

Аккуратней это как понять? Я понимаю множество решений $B$ результирующей системы как $(z^1\ldots , z^n)\in B\Leftrightarrow \bigwedge\limits_{n,m=1}^{k}\left((z^1\ldots , z^n)- \text{решение} P_m(z^1\ldots , z^n)=0\right)\vee\\ \left((z^1\ldots , z^n)- \text{решение}Q_n(z^1\ldots , z^n)=0\right)$.
Из этого и получаю, что $B=B_1\cup B_2$. Это не верно.

Joker_vD в сообщении #499473 писал(а):

Зачем справа такая толпа нулей?

Упс, это я затупил

[xmaister]

Т.к. $(p_1\wedge\ldots\wedge p_k)\vee (q_1\wedge\ldots\wedge q_i)\Leftrightarrow (p_1\vee q_1)\wedge\ldots\wedge (p_1\vee q_i)\wedge\ldots\wedge (p_k\vee q_1)\wedge\ldots\wedge (p_k\vee q_i)$.
Тогда система, множеством решений которой будет $B$ имеем вид: $\begin{cases}P_1Q_1=0\\\ldots\\P_1Q_i=0\\\ldots\\P_kQ_1=0\\\ldots\\P_kQ_i=0\end{cases}$
Так правильно?
А если рассматривать пересечение, мы можем говорить о системе с бесконечным числом уравнений?

[Someone]

xmaister в сообщении #499553 писал(а):

А если рассматривать пересечение, мы можем говорить о системе с бесконечным числом уравнений?

Придётся. А в Википедии, кстати, говорится не о системе уравнений, а о множестве полиномов: Топология Зарисского.

[xmaister]

А эта топологее будет грубее естественной на $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$?

[Someone]

А в ней замкнутых (и, соответственно, открытых) множеств больше или меньше, чем в стандартной топологии $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$? ("Больше - меньше" не в смысле мощности, а в смысле включения.)

[xmaister]

Для любого замкнутого в $\mathbb{R}^{2n}$ множества существует система полиномов, решением которой будет это множество. Получается, что топология Зариского тоньше?

[Someone]

xmaister в сообщении #499590 писал(а):

Для любого замкнутого в $\mathbb{R}^{2n}$ множества существует система полиномов, решением которой будет это множество.

Во-первых, насколько я помню, речь идёт о полиномах не в $\mathbb R^{2n}$, а в $\mathbb C^n$, а это существенно разные множества полиномов. Во вторых, это Ваше утверждение меня сильно удивило. В третьих, не хотите ли Вы сказать, что существует система полиномиальных уравнений, множество решений которой является незамкнутым?

[xmaister]

Someone в сообщении #499594 писал(а):

Во-первых, насколько я помню, речь идёт о полиномах не в $\mathbb R^{2n}$, а в $\mathbb C^n$

Ну да, так определили топологию Зариского в $\mathbb{C}^n$

Someone в сообщении #499594 писал(а):

это Ваше утверждение меня сильно удивило

Я даже не знаю, такая задача попалась. Я рассматривал множество полиномов в $\mathbb{R}^{2n}$. Может я её неправильно понял.

-- 05.11.2011, 02:00 --

Вообще в каком смысле я должен понимать $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$?

[Leox]

xmaister в сообщении #499445 писал(а):

Допустим $B_1$, $B_2$- множество решений некоторых систем полиномиальных уравнений. Как показать, что существует система, множество решений которой является множество $B_1\cup B_2$?

А какое отношение к етой задаче имеет топология Зарисского?

[xmaister]

Leox, не понял Вас.

xmaister в сообщении #499445 писал(а):

Дано определние: Топологией Зариского на множестве $\mathbb{C}^n$- называется топология, в которой множество $B$- замкнуто, если оно либо совпадает со всем пространством $\mathbb{C}^n$, либо является решением системы полиномиальных уравнений.

У меня в сборнике задач она так определяется.

[Leox]

xmaister в сообщении #499606 писал(а):

Leox, не понял Вас.

Ета задача решается (как было указано выше) без привлечения топологических понятий