Помогите разобраться с топологией Зариского

[xmaister]

Leox в сообщении #499610 писал(а):

Ета задача решается (как было указано выше) без привлечения топологических понятий

Я не понимаю, в каком смысле рассматривать равенство $\mathbb{C}^{n}=\mathbb{R}^{2n}$.

[Someone]

xmaister в сообщении #499612 писал(а):

Я не понимаю, в каком смысле рассматривать равенство $\mathbb{C}^{n}=\mathbb{R}^{2n}$.

Исключительно в том смысле, что естественные топологии на них гомеоморфны. А в контексте Вышей задачи это "равенство" вообще "рассматривать" не надо.

Leox в сообщении #499610 писал(а):

Ета задача решается (как было указано выше) без привлечения топологических понятий

Задача как раз топологическая: доказать, что множества указанного вида образуют семейство замкнутых множеств некоторой топологии.

xmaister в сообщении #499569 писал(а):

А эта топологее будет грубее естественной на $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$?

Someone в сообщении #499571 писал(а):

А в ней замкнутых (и, соответственно, открытых) множеств больше или меньше, чем в стандартной топологии $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$? ("Больше - меньше" не в смысле мощности, а в смысле включения.)

Собственно говоря, нужно проверить два утверждения:
а) каждое множество, замкнутое в топологии Зарисского на $\mathbb{C}^n$, замкнуто и в стандартной топологии $\mathbb{C}^n$;
б) существует множество, замкнутое в стандартной топологии, но не замкнутое в топологии Зарисского (попробуйте доказать, что годится любое множество, которое в стандартной топологии замкнуто, имеет непустую внутренность и не совпадает со всем пространством).

[Leox]

Someone в сообщении #499631 писал(а):

Leox в сообщении #499610 писал(а):

Ета задача решается (как было указано выше) без привлечения топологических понятий

Задача как раз топологическая: доказать, что множества указанного вида образуют семейство замкнутых множеств некоторой топологии.

Не согласен, ето лишь одна из возможных но совсем необязательных интерпретаций задачи, а с методической точки зрения даже вредная. Изначально спрашивалось - есть ли обьединение двух алгебраических множеств снова алгебраическим множеством, и все. Ето тривиальная задача, и в любом курсе алгебраической геометрии она присутствует задолго до определения топологии Зарисского.

[Kallikanzarid]

Leox в сообщении #499659 писал(а):

Не согласен, ето лишь одна из возможных но совсем необязательных интерпретаций задачи, а с методической точки зрения даже вредная. Изначально спрашивалось - есть ли обьединение двух алгебраических множеств снова алгебраическим множеством, и все. Ето тривиальная задача, и в любом курсе алгебраической геометрии она присутствует задолго до определения топологии Зарисского.

У Харриса - за одну лекцию до, Вакиль вообще обходится без этого :)

[Padawan]

А пересечение произвольного семейства полиномиальных множеств тоже будет полиномиальным множеством. Это как-то там с теоремой Гильберта о нулях связано, или это она и есть. В общем, эта часть определения топологии очень нетривиально проверяется.

[Someone]

(Оффтоп)

Leox в сообщении #499659 писал(а):

Не согласен, ето лишь одна из возможных но совсем необязательных интерпретаций задачи, а с методической точки зрения даже вредная

Насколько я знаю, xmaister изучает общую топологию, а не алгебраическую геометрию. Топология Зарисского - это всего лишь пример определения топологии, для тополога интересный лишь тем, что не придуман искусственно для демонстрации каких-то топологических особенностей, а появился вне общей топологии.
В конце концов, посмотрите на название темы и на первое сообщение. Задача состоит в том, чтобы доказать, что топология Зарисского - действительно топология. А потом появился вопрос о соотношении топологии Зарисского с естественной топологией $\mathbb C^n$.

Padawan в сообщении #499678 писал(а):

В общем, эта часть определения топологии очень нетривиально проверяется.

Ну, не знаю. Если определять, как в Википедии, то никакой проблемы нет.

[Leox]

Padawan в сообщении #499678 писал(а):

А пересечение произвольного семейства полиномиальных множеств тоже будет полиномиальным множеством. Это как-то там с теоремой Гильберта о нулях связано, или это она и есть. В общем, эта часть определения топологии очень нетривиально проверяется.

Для пересеченя конечного числа алгебраических множеств доказательство простое - просто нужно обьеденить все определяющие полиномы в одну систему. Если же их количество бесконечное, то здесь нужна
уже теорема Гильберта о базисе - в каждом полиномиальном идеале существует конечный базис.Алгебраическое множество опеределяемое етим базизом и будет пересечением тех алгебраических множеств.
Вот после етого уже можно начинать разговов об топологической интерпретации етих результатов, если нужно. Гильберт обходился без етого. А теорема Гильберта о нулях ето несколько другое, если нужно могу обьяснить на пальцах.

[Padawan]

Someone в сообщении #499687 писал(а):

Padawan в сообщении #499678 писал(а):

В общем, эта часть определения топологии очень нетривиально проверяется.

Ну, не знаю. Если определять, как в Википедии, то никакой проблемы нет.

Если так определять, то да. Но то, что алгебраическое множество в этом смысле есть множество общих нулей конечного числа многочленов, всё равно трудно доказать.

Leox в сообщении #499691 писал(а):

Если же их количество бесконечное, то здесь нужна
уже теорема Гильберта о базисе - в каждом полиномиальном идеале существует конечный базис.Алгебраическое множество опеределяемое етим базизом и будет обьединением тех алгебраических множеств.

Вы хотели сказать "пересечением" ? Вот, вот, я про это и говорю, только название теоремы (да и саму теорему) забыл.

[Leox]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #499687 писал(а):

Насколько я знаю, xmaister изучает общую топологию, а не алгебраическую геометрию. Топология Зарисского - это всего лишь пример определения топологии, для тополога интересный лишь тем, что не придуман искусственно для демонстрации каких-то топологических особенностей, а появился вне общей топологии.
В конце концов, посмотрите на название темы и на первое сообщение. Задача состоит в том, чтобы доказать, что топология Зарисского - действительно топология.

Ок. Наверное я слишком буквально понял задачу и не обратил внимание на название темы.

-- Сб ноя 05, 2011 12:37:53 --

Padawan в сообщении #499694 писал(а):

Вы хотели сказать "пересечением" ? Вот, вот, я про это и говорю, только название теоремы (да и саму теорему) забыл.

Да, да..пересечением, исправил.

[xmaister]

Leox в сообщении #499695 писал(а):

Если же их количество бесконечное, то здесь нужна
уже теорема Гильберта о базисе - в каждом полиномиальном идеале существует конечный базис.

Т.е. когда мы рассматриваем систему из бесконечного количества полиномиальных уравнений, то её можно заменить конечной?

[Leox]

xmaister в сообщении #499714 писал(а):

Leox в сообщении #499695 писал(а):

Если же их количество бесконечное, то здесь нужна
уже теорема Гильберта о базисе - в каждом полиномиальном идеале существует конечный базис.

Т.е. когда мы рассматриваем систему из бесконечного количества полиномиальных уравнений, то её можно заменить конечной?

Да, ето и есть именно то что утверждает теорема Гильберта о базисе.

[Someone]

Leox в сообщении #499722 писал(а):

Да, ето и есть именно то что утверждает теорема Гильберта о базисе.

Не знал. Выглядит неожиданным. А где посмотреть можно?

[MaximVD]

Someone в сообщении #499927 писал(а):

Leox в сообщении #499722 писал(а):

Да, ето и есть именно то что утверждает теорема Гильберта о базисе.

Не знал. Выглядит неожиданным. А где посмотреть можно?

Ленг "Алгебра", по-моему в начале 10-ой главы.

[Someone]

MaximVD в сообщении #499929 писал(а):

Ленг "Алгебра", по-моему в начале 10-ой главы.

Спасибо, идею понял.

[xmaister]

Someone в сообщении #499631 писал(а):

Исключительно в том смысле, что естественные топологии на них гомеоморфны. А в контексте Вышей задачи это "равенство" вообще "рассматривать" не надо.

Ну тогда рассмотрим произвольное замкнутое в топологии Зарисского множество $A\in\mathcal{L}_{z}$. $\mathcal{L}_z$- семейство замкнутых множеств в топологии Зарисского. Оно является множество решений некоторой системы $\begin{cases}P_1(z)=0\\ P_2(z)=0\\.\quad .\quad .\quad .\\P_k(z)=0\end{cases}$. Имеем: $z\in A\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{i=1}^{k}\left\{P_i(z)=0\right\}\Leftrightarrow\bigwedge\limits_{i=1}^{k}\left[z\in P_i^{-1}(\{0\})\right]$. Отсюда:
$A=\bigcap\limits_{i=1}^{k}P_i^{-1}(\{0\})$. Рассмотрим $\mathbb{C}^n$ с естественной топологией и полиномиальное отображение $f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$, которое непрерывно. В силу того, что $\{0\}\in\mathcal{L}_{st}$- замкнуто в естественной топологии, тогда $A\in\mathcal{L}_{st} $- замкнуто. Тогда $\mathcal{L}_z\subset\mathcal{L}_{st}$. Правильно?

-- 07.11.2011, 16:11 --

Тогда получается, что, т.к. топология Зарисского слабее естественной, а естественная линейно связна, то топология Зарисского линейно связна?

-- 07.11.2011, 16:25 --

Ещё такой вопрос: А эта топология будет удовлетворять аксиомам $T_2, T_3, T_{3\frac12}, T_4$?