погрешности вычислений

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #498632 писал(а):

Это не совсем для простоты. Сумма модулей -- это гарантированная точность при условии, что все базовые погрешности тоже заранее гарантированно оцениваются. Квадратичная сумма -- это оценка с.к.о при условии, что никаких гарантий нет, но зато мы принимаем как нечто естественное нормальность распределения ошибок (ну и там соотв. в добивку).

Я бы скорее о независимости говорил, чем о нормальности. Всё же нормальные, но сильно коррелированные ошибки по формуле квадратичной суммы оценивать опасно. Хотя, конечно, нормальность тоже неявно сидит. В предположении, что среднее значение и стандартное отклонение нам сообщают об ошибке всё существенное.

[Sverest]

Как определить погрешность если известны верные цифры?

[AKM]

Ну, давайте подумаем, а потом сравним с Вашими формулами. Вот, скажем, число, $12.31$ (я, пардон, не умею десятичную запятую ставить, только точку. исхожу из того, что раз нам пишут последнюю единицу, значит, она "верная". И это на самом деле $12.310\pm 0.005$. Забыв про те формулы --- что есть абсолютная, и что естественно назвать относительной погрешностью этой штуки? И что изменится в случае $12.3$? Какая из формул работает?

[Sverest]

абсолютная $0.005$

относительная $\frac{0.005}{12.31}=4.0617\cdot 10^{-4}$

Значит правильна все таки формула, а не таблица, интересно почему

[AKM]

Не знаю. У меня таких таблиц нет, никогда их не видел. Уж не Брадиса ли таблицы?
Формула какая-то странная, но понятная. Но Вы можете понять её происхождение. Сравните. Для числа 597 имеем

$$\delta=\frac{0.5}{597}.$$

А "по формуле" ($n=3,\;\alpha=5$)

$$\delta=\frac1{2\cdot5}\cdot\left(\frac1{10}\right)^{3-1}=\frac{1}{2\cdot500}=\frac{0.5}{500}.$$

Взял бы я не 597, а 500, результаты бы совпали. Но "формула" берёт почему-то только первую цифру. Не понимаю, зачем придумывать и запоминать такую странную формулу.

[arseniiv]

А где сии чудесные таблицы можно достать? (Ссылочку какую-нибудь можно?) Интересно посмотреть на них. Может, их надо использовать как-то по-другому?

[Sverest]

Основы Вычислительной математики авт: Б.П.Демидович и И.А.Марон стр. 29

Сама формула на стр. 27

[AKM]

AKM в сообщении #502044 писал(а):

Вот, скажем, число, $12.31$. исхожу из того, что раз нам пишут последнюю единицу, значит, она "верная". И это на самом деле $12.310\pm 0.005$.

Ну, я приписал неопределённому термину "верная" то, что округление было проведено. А ребята, возможно, допускают $12.319$, где 1 остаётся вроде как "верной" цифрой. Соответственно, мой $12.310\pm 0.005$ превращается в $12.310\text{~~---~~}12.3199999\ldots=12.32$, и рассматривается с абс. погрешностью 0.01 (уже в два раза больше). Т.е. во всей таблице значения в 2 раза больше (они, замечу, в процентах).

Думаю, в плане разрешения противоречия с формулой, надо внимательно посмотреть все написанное там на эту тему. Или поискать что-нибудь посовременнее. Такие таблицы, это, максимум, из той эпохи, когда унитазы были уже почти у всех, а калькуляторы только у тех, у кого остались лишние деньги после покупки магнитофона.

[Sverest]

$\Delta_a=0.005$
$\Delta_b=0.00005$
$\Delta_c=0.005$

$\delta_a=\frac{0.005}{12.31}=4.0617 \cdot 10^{-4}$

$\delta_b=\frac{0.00005}{0.0352}=0.00142$

$\delta_c=\frac{0.005}{10.82}=0.000462$

$\delta_{a \cdot b}=\delta_a +\delta_b=0.001826$

$\delta_{a \cdot a}=\delta_a+\delta_a=0.000812$

$\delta_{b \cdot c}=\delta_b+\delta_c=0.001882$

$\delta_{a^2+bc}=max(\delta_{a^2};\delta_{bc})=0.001882$

$\delta_{f(a,b,c)}=\delta_{ab}+\delta_{a^2+bc}=0.001826+0.001882=0.003708$

-- Пт ноя 11, 2011 19:04:49 --

Общая формула

$$\delta_{f(a,b,c)}=\sum\limits^n_{i=1} \left |\frac{\partial }{\partial x_i} \ln {\frac{ab}{a^2+bc}}\right | \Delta_{x_i}$$

[Алексей К.]

Это просьба проверить Ваши выкладки? Если так, то последняя формула подозрительна. А что если выражение под лонарифмом отрицательно? И надо было написать явно, что $x_1=a,\:x_2=b,\:x_3=c,\;n=3$.

Sverest в сообщении #502485 писал(а):

$\delta_{a^2+bc}=max(\delta_{a^2};\delta_{bc})=0.001882$

И это странно выглядит. Вы хотите сказать, что $\delta_{x+y}=\max(\delta_{x};\delta_{y})\,?$ Не верю!

[Sverest]

Алексей К. в сообщении #502554 писал(а):

И это странно выглядит. Вы хотите сказать, что $\delta_{x+y}=\max(\delta_{x};\delta_{y})\,?$ Не верю!

Основы Вычислительной математики авт: Б.П.Демидович и И.А.Марон стр. 32

http://dwg.ru/dnl/zip/dnl5302_Osnovy_vychislitelnoj_matematiki_Demidovich_B.P._Maron_I.A._1966_god_.rar

Теорема: Если слагаемые - одного и того же знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.

Общая формула для погрешностей на стр. 41, под номером 4, я правильно посмотрел? Может мне какой нибудь другой учебник взять?

-- Сб ноя 12, 2011 06:26:37 --

AKM в сообщении #502259 писал(а):

Т.е. во всей таблице значения в 2 раза больше

Сейчас прочитал, что написано под таблицей: " Заметим, что если приближенное число имеет 2, 3 или 4 верных знака в узком смысле, то все числа таблицы нужно уменьшить вдвое"