погрешности вычислений

[Sverest]

Дана функция $f(a,b,c)$. Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей.
Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.

$f(a,b,c)=\frac{ab}{a^2 +bc}$

$a=12.31,~b=0.0352,~c=10.82$

С чего надо начать?

[Someone]

Наверное, написать формулы для оценки погрешностей арифметических операций и общую формулу погрешностей. Я не угадал?

[Sverest]

Для этого хватит знаний о том что такое абсолютная и относительная погрешность? или надо еще что-то знать?

[AKM]

Когда меня этому учили, и когда у меня по жизни возникали подобные вопросы, они формулировались примерно так: как повлияет маленькое изменение одной из переменных (например, чисто от округления) на результат? Выражалось это как $\Delta f\approx\dfrac{\partial f}{\partial a}\Delta a$. Соответственно, нужны первичные знания матанализа, полная ясность в написанной формулке. И это только первый шаг: дальше все погрешности надо грамотно объединить.

-- 02 ноя 2011, 21:15 --

Хотя, конечно, были отдельно "погрешность суммы-разности" ($f(a,b)=a+b$), "погрешность частного". Но Ваш пример, видимо, предполагает уже общий подход, включающий и погрешность корня, и погрешность синуса, и...

[arseniiv]

А погрешность суммы, разности и других можно ведь вывести из обобщённой формулы $\Delta f\approx\dfrac{\partial f}{\partial a}\Delta a + \dfrac{\partial f}{\partial b}\Delta b + \ldots$

-- Ср ноя 02, 2011 23:26:52 --

А, вы уже написали.

[Sverest]

где об этом можно подробней почитать?

[AKM]

arseniiv в сообщении #498586 писал(а):

А погрешность суммы, разности и других можно ведь вывести из обобщённой формулы $\Delta f\approx\dfrac{\partial f}{\partial a}\Delta a + \dfrac{\partial f}{\partial b}\Delta b + \ldots$

По-моему, Вы не правы. Что-то вроде $\Delta f=\sqrt{\left(\dfrac{\partial f}{\partial a}\Delta a\right)^2 + \left(\dfrac{\partial f}{\partial b}\Delta b\right)^2}$. Или, для простоты, сумма модулей. А где про это теперь читают я не знаю.

[arseniiv]

AKM в сообщении #498593 писал(а):

Или, для простоты, сумма модулей. А где про это теперь читают я не знаю.

Ой. Там было именно это, а я нечайно переупростил.

[AKM]

arseniiv в сообщении #498596 писал(а):

Там было

"Там" --- это где? Напишите уж ТС, где Вы читали (если это не Ваш конспект лекций).

[arseniiv]

Это справочник по элементарной физике Н. Кошкина и Е. Васильчиковой, там есть маленькое приложение про погрешности. Без объяснений. Не пойдёт, наверно. А с объяснениями я пока только догадываюсь, но точно не знаю.

[Sverest]

что-то здесь нашел как раз по вычислительной математики http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/class/free/1/

[ewert]

AKM в сообщении #498593 писал(а):

Или, для простоты, сумма модулей.

Это не совсем для простоты. Сумма модулей -- это гарантированная точность при условии, что все базовые погрешности тоже заранее гарантированно оцениваются. Квадратичная сумма -- это оценка с.к.о при условии, что никаких гарантий нет, но зато мы принимаем как нечто естественное нормальность распределения ошибок (ну и там соотв. в добивку).

[Sverest]

нашел в книге ('Основы Вычислительной математики' авт: Б.П.Демидович и И.А.Марон) , как раз подробно описывается погрешность разности, суммы...

[Sverest]

Относительную погрешность чисел $a,b,c$ определять по такой формуле?

$\delta=\frac{1}{2 \alpha_m}(\frac{1}{10})^{n-1}$ , где $\alpha_m$ - первая зачащая цифра числа $a$,

$n$ - число верных знаков

[Sverest]

Странно, по таблице относительной погрешности (в % ) чисел с $n$ верными знаками погрешность числа $a=12.31$ равна $0,083$

а по формуле $\frac{1}{2 \cdot 1}(\frac{1}{10})^{4-1}=0.0005$