Горка

[Munin]

maaaks в сообщении #497338 писал(а):

Во даёшь! Я повторю, при скатывании шарика с горки, оптимальная форма (лучшая) горки должна быть перевёрнутой циклоидой, в этом случае достигаются почти все "нужные параметры": минимальное время скатывание, максимальные средняя и конечная скорости.

От повторения ошибочное заявление не становится верным. Что такое "нужные параметры", физическая задача не знает.

maaaks в сообщении #497338 писал(а):

Под "нужными параметрами" не следует понимать самое долгое скатывание, минимальная скорость и т. д. ведь не для того горку строят чтобы с неё потом медленно скатываться!

В физической задаче даже нет горки. В ней есть поверхность некоторого профиля $y(x),$ начальное и конечное положение $x_0,$ $x_1,$ начальная скорость $0.$ Никаких намерений, лозунгов и прочей шелухи в физической задаче нет. Если вы не в курсе об этом, вам надо повторить школьный курс физики.

[Hellko]

maaaks в сообщении #497480 писал(а):

arseniiv в сообщении #497461 писал(а):

Если считать её пределом горок разного наклона при приближении его к вертикальному, то скатывается.

Вы имеете ввиду 89* и 9 в периоде, и даже в этом случае можно построить циклоиду которая будет превосходить вашу горку.

-- 30.10.2011, 18:41 --

проведите касательную к циклоиде из верхней точки, тогда шар с нее скатится быстрее. (по горке образованой касательной)

[epros]

(Оффтоп)

Теперь уже пятая страница пошла, но внятных попыток решения всё ещё нет. Попробую исправить.

Итак, если это тест, в котором только один из ответов - правильный, то предположение о равноценности всех трёх вариантов автоматически исключается. Т.е. предположение о том, что речь о задаче без трения, не подходит.

Пробуем учесть трение. Скажем, сухое трение с заданным коэффициентом $k$. При угле наклона горки $\alpha$ имеем силу трения $kmg \cos{\alpha}$. Соответственно, работа по преодолению сил трения для поднятия на высоту $\Delta h$ равна $kmg \cos{\alpha} \times \frac{\Delta h}{\sin{\alpha}} = kmg \Delta h \ctg{\alpha}$. Плюс работа по преодолению сил тяжести, итого: $mg \Delta h (1 + k \ctg{\alpha})$.

Но это ещё не всё. При изменении угла наклона горки появляется дополнительная прижимная сила, соответственно, тратится дополнительная энергия на преодоление трения. Причём эта энергия не мала, т.е. пренебречь ей нельзя. Рассмотрим "скругление" радиуса $r$. Прокатываясь по нему, шарик прижимается к горке с дополнительной силой $\frac{m v^2}{r}$ (обусловленной центробежной силой). Соответственно, на него действует дополнительная сила трения $\frac{k m v^2}{r}$. Длина "скругления": $r \Delta \alpha$ - где $\Delta \alpha$ - изменение угла наклона горки. Стало быть, при прохождении этого скругления на преодоление трения будет затрачена такая дополнительная энергия: $k m v^2 \Delta \alpha$ (как видите, радиус скругления сократился, т.е. он значения не имеет).

В итоге получаем такой дифур:

$- d (\frac{v^2}{2}) = g (1 + k \ctg{\alpha}) dh + k v^2 d\alpha$

Что-то не похоже на элементарную школьную задачку.... Однако решением, максимизирующим конечную высоту $h$ при заданной начальной скорости $v$, похоже является всё же прямая горка под некоторым достаточно крутым углом $\alpha^{*}$. При закатывании на неё шарик сразу потеряет изрядную долю своей кинетической энергии, однако остаточная скорость будет иметь значительную вертикальную составляющую, что и позволит ему подняться достаточно высоко.

-- Пн окт 31, 2011 11:22:20 --

Кстати, при $k=0.2$ у меня получается оптимальный угол наклона горки $\alpha^{*}$ около 40 градусов (а никак не 89).

[master]

Ну хоть кто то что то считал.
У меня эта задача особого интереса не вызывает, просто вспомнил похожие опыты с обручем, где не всякий раз наклонная плоскость выигрывала. У кого есть возможность можете сами провести опыт. За сим откланиваюсь.

[druggist]

epros в сообщении #497650 писал(а):

Прокатываясь по нему, шарик прижимается к горке с дополнительной силой (обусловленной центробежной силой). Соответственно, на него действует дополнительная сила трения .

Почему с дополнительной? Центробежная сила при движении с постоянной скоростью по окружности это равнодействующая всех сил приложенных к телу, а не какая-то отдельная дополнительная сила

[ИгорЪ]

вот интересно, автор задачи имел ввиду физическое содержание данное epros ?

[maaaks]

Munin в сообщении #497483 писал(а):

maaaks в сообщении #497338 писал(а):

Во даёшь! Я повторю, при скатывании шарика с горки, оптимальная форма (лучшая) горки должна быть перевёрнутой циклоидой, в этом случае достигаются почти все "нужные параметры": минимальное время скатывание, максимальные средняя и конечная скорости.

От повторения ошибочное заявление не становится верным. Что такое "нужные параметры", физическая задача не знает.

maaaks в сообщении #497338 писал(а):

Под "нужными параметрами" не следует понимать самое долгое скатывание, минимальная скорость и т. д. ведь не для того горку строят чтобы с неё потом медленно скатываться!

В физической задаче даже нет горки. В ней есть поверхность некоторого профиля $y(x),$ начальное и конечное положение $x_0,$ $x_1,$ начальная скорость $0.$ Никаких намерений, лозунгов и прочей шелухи в физической задаче нет. Если вы не в курсе об этом, вам надо повторить школьный курс физики.

Я не считаю себя умным, такие люди вообще очень редко рождаются, образованный человек в ходе обучения всего-лишь обретает опыт и знания доступные благодаря как раз этим умным людям, сумевших сделать фундаментальные открытия. Одним из таких людей был швейцарский математик Иоганн Бернулли, именно он с группой других учёных и доказал что наискорейший спуск осуществим только с горки в форме циклоиды! А что касаемо физической задачи, то не физика ставит нам задачи а жизнь, а физика их описывает. Или вы имели виду учебник по физике...если там нет горки возмите учебник за более старший класс. Уверяю в ответах не найдёте.

[Munin]

(Оффтоп)

k=0,2 великовато для коэффициента трения качения.

[maaaks]

epros в сообщении #497650 писал(а):

При закатывании на неё шарик сразу потеряет изрядную долю своей кинетической энергии, однако остаточная скорость будет иметь значительную вертикальную составляющую, что и позволит ему подняться достаточно высоко.

При определённых скоростях шарик с радиусом r вообще не сможет преодалеть этот рубеж, я считаю что прямая горка не самый лучший выбор. В физике я вообще не встречал количественное описание самого момента "закатывания" на горку, разве только соударение упругих тел. Уважаю ваш труд!

-- 31.10.2011, 20:46 --

druggist в сообщении #497697 писал(а):

epros в сообщении #497650 писал(а):

Прокатываясь по нему, шарик прижимается к горке с дополнительной силой (обусловленной центробежной силой). Соответственно, на него действует дополнительная сила трения .

А центростремительная сила которая тоже возникает, работает нам на руку. В итоге чего больше вреда или пользы?

[epros]

maaaks в сообщении #497896 писал(а):

При определённых скоростях шарик с радиусом r вообще не сможет преодалеть этот рубеж

$v_1 = v_0 e^{- k \Delta \alpha} > 0$

[Munin]

(Оффтоп)

maaaks в сообщении #497858 писал(а):

Я не считаю себя умным, такие люди вообще очень редко рождаются, образованный человек в ходе обучения всего-лишь обретает опыт и знания доступные благодаря как раз этим умным людям, сумевших сделать фундаментальные открытия.

Умными люди не рождаются вообще. Умными люди становятся, примерно вместе с приобретением опыта и знаний, хотя верно, что опыт и знания ещё не гарантируют ума. Зато отсутствие опыта и знаний отсутствие ума практически гарантируют (человек может быть практически смышлён и смекалист, но всё равно будет в сложных вещах попадать впросак).

maaaks в сообщении #497858 писал(а):

Одним из таких людей был швейцарский математик Иоганн Бернулли, именно он с группой других учёных и доказал что наискорейший спуск осуществим только с горки в форме циклоиды!

Именно что наискорейший. А не "наилучший".

maaaks в сообщении #497858 писал(а):

А что касаемо физической задачи, то не физика ставит нам задачи а жизнь, а физика их описывает.

Именно так. И например, если вы съезжаете с горки лично на какой-то таратайке, вам, наоборот, может быть невыгодно слишком разгоняться, а то разобьётесь. Лучше притормозить.

[maaaks]

Munin в сообщении #497952 писал(а):

Именно что наискорейший. А не "наилучший".

Я не физик, а практик посему не вижу разницы. В моём понимании "наилучшая" это горка скатываясь с которой, от набегающего потока рвётся рот. Но если этот термин режит ухо физика, прошу прощения и впредь обещаю исправиться.

[Munin]

maaaks в сообщении #497964 писал(а):

В моём понимании "наилучшая" это горка скатываясь с которой, от набегающего потока рвётся рот.

Вот вам ещё варианты: горка, на которой не разобьёшься; горка, на которой не трясёт; горка, на которой можно весело подпрыгивать. В разных ситуациях нужны разные варианты. Именно поэтому эти все вещи выносятся за рамки физики - что такое "наилучшее", решает заказчик, тот, кто ставит задачу, а физика имеет дело не с такими характеристиками, а с теми, которые можно выразить математически.

[maaaks]

Так что получается, однозначного ответа нет? Или всё же прямая горка?

[whiterussian]

Однозначно прямая.