Решение уравнения Хопфа численными методами

[Oleg Zubelevich]

Yu_K
Я как-то всегда думал, что устойчивость алгоритма в таких задачах зависит именно от того как разностная схема согласована с направлением характеристик. Ну просто по аналогии с линейными гиперболическими уравнениями

[dasalam]

TOTAL в сообщении #489290 писал(а):

dasalam в сообщении #489282 писал(а):

В дивергентной форме я получаю вот такое уравнение

$$\frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} = 0, f = U^2/2$$

Я наверное некорректно вопрос поставил. Лучше будет так: как записать TVD-схему для уравнения Хопфа?

Что понимаете под TVD-схемой?
Знаете ли какое-нибудь достаточное условие того, что схема обладает свойством TVD?
С какой целью переписали уравнение в дивергентной форме?

Схема TVD если

$$Var(U^{n+1}) \le Var(U^{n})$$

, где

$$Var(U^{n}) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}|U_{i+1}^n - U_{i}^n|$$

Собственно вот и достаточное условие. А записал я в таком видео потому что у меня есть схема TVD для линейного уравнения переноса.

[TOTAL]

$$\frac{U^{n+1}_j - U^n_j}{\tau}+U^n_j\frac{U^{n}_{j+1} - U^n_{j-1}}{2h}=|U^n_j|\frac{U^{n}_{j+1} -2U^n_j+ U^n_{j-1}}{2h}$$

Вот $TVD$ схема при достаточно малом $\tau$

[Yu_K]

http://www.intuit.ru/department/calculate/nmdiffeq/3/nmdiffeq_3.html - здесь в п. 3.7 есть дивергентная форма TVD.

[dasalam]

TOTAL в сообщении #489668 писал(а):

$$\frac{U^{n+1}_j - U^n_j}{\tau}+U^n_j\frac{U^{n}_{j+1} - U^n_{j-1}}{2h}=|U^n_j|\frac{U^{n}_{j+1} -2U^n_j+ U^n_{j-1}}{2h}$$

Вот $TVD$ схема при достаточно малом $\tau$

Спасибо.

Yu_K в сообщении #489724 писал(а):

http://www.intuit.ru/department/calculate/nmdiffeq/3/nmdiffeq_3.html - здесь в п. 3.7 есть дивергентная форма TVD.

А там для линейного уравнения

[Yu_K]

2 dasalam

(Оффтоп)

т.е. по Вашему мнению - уравнение Хопфа - линейное - только никому про это не говорите...это очень большой секрет.

[dasalam]

2 Yu_K
Я как раз и говорю, что уравнения Хопфа нелинейное, а там схема для линейного уравнения

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #489163 писал(а):

Просто глупо писать разнустную схему для урчп, когда задача решается руками.

Не глупо, это ведь тест. Помогает на простом примере оценить дисперсию и диффузию разностной схемы.