Решение уравнения Хопфа численными методами

[dasalam]

Есть уравнение Хопфа

$$\frac{\partial U}{\partial t} + U\frac{\partial U}{\partial x} = 0$$

И надо бы его решить численным методом. Я вот знаю как решать линейные уравнения переноса. Заменой

$$f = U^2/2$$

уравнение Хопфа приводится к линейному, которое я уже могу решить. Но вопрос U надо брать как

$$U = \sqrt{2f}$$

или как

$$U = -\sqrt{2f}$$

?

[Yu_K]

А каким методом хотите решать - если в дивергентной форме переписать уравнение и записать его дискретный аналог - то вопрос о знаке корня вообще отсутствует.

[dasalam]

Yu_K в сообщении #488933 писал(а):

А каким методом хотите решать - если в дивергентной форме переписать уравнение и записать его дискретный аналог - то вопрос о знаке корня вообще отсутствует.

Я хочу его решать методом Total Variation Diminishing(TVD). А разве то к какому линейному виду я его привел не называется дивергентной формой?

[TOTAL]

dasalam в сообщении #488937 писал(а):

Я хочу его решать методом Total Variation Diminishing(TVD).

Это не метод, а свойство.

[Oleg Zubelevich]

Уравнение Хопфа решается методом характеристик. Численные методы если и нужен то только для взятия интегралов и обращения функций. Странно, что многие люди не понимают, что обсуждать урчп без начальных\краевых условий бессмысленно.

[TOTAL]

Oleg Zubelevich в сообщении #488990 писал(а):

Уравнение Хопфа решается методом характеристик.

Любые попытки решать его другими методами караются лишением свободы.

[dasalam]

Oleg Zubelevich в сообщении #488990 писал(а):

Уравнение Хопфа решается методом характеристик. Численные методы если и нужен то только для взятия интегралов и обращения функций. Странно, что многие люди не понимают, что обсуждать урчп без начальных\краевых условий бессмысленно.

1. А что не методом характеристик никак по-вашему?
2. Я же не прошу конкретную разностную схему. Ну да есть какие то начальные\краевые условия, вам нужен их конкретный вид для ответа на мой вопрос?

TOTAL в сообщении #488985 писал(а):

dasalam в сообщении #488937 писал(а):

Я хочу его решать методом Total Variation Diminishing(TVD).

Это не метод, а свойство.

Странно, но вот тут http://www.intuit.ru/department/calcula ... q/3/6.html написано TVD - схемы

[Oleg Zubelevich]

TOTAL в сообщении #488998 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #488990 писал(а):

Уравнение Хопфа решается методом характеристик.

Любые попытки решать его другими методами караются лишением свободы.

Нет конечно. Просто глупо писать разнустную схему для урчп, когда задача решается руками. Вы еще $\dot x=x$ методом Рунге-Кутта порешайте

dasalam в сообщении #489150 писал(а):

Ну да есть какие то начальные\краевые условия, вам нужен их конкретный вид для ответа на мой вопрос?

Нет, мне не нужен. просто численный метод, про который Вы спрашиваете, зависит от начально\краевых условий, которых Вы не приводите.

[dasalam]

Oleg Zubelevich в сообщении #489163 писал(а):

TOTAL в сообщении #488998 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #488990 писал(а):

Уравнение Хопфа решается методом характеристик.

Любые попытки решать его другими методами караются лишением свободы.

Нет конечно. Просто глупо писать разнустную схему для урчп, когда задача решается руками. Вы еще $\dot x=x$ методом Рунге-Кутта порешайте

dasalam в сообщении #489150 писал(а):

Ну да есть какие то начальные\краевые условия, вам нужен их конкретный вид для ответа на мой вопрос?

Нет, мне не нужен. просто численный метод, про который Вы спрашиваете, зависит от начально\краевых условий, которых Вы не приводите.

Слышали про учебные задачи что-нибудь? Раз вы такой настырный, то
$$U(0,x) = g_{1}(x), 0 \le x < \infty; U(t, 0) = g_{2}(t), 0 \le x < T

[Oleg Zubelevich]

Понятно. Задача учебная. А Вы в курсе, что у решений уравнения Хопфа бывает "опрокидывание волны"? Вы свою задачу на наличие такого эффекта проверяли? А если там волна опрокидывается, то это и с вычислительной точки зрения будет очень специальная ситуация, от этого зависит в каких пространстве будет находиться решение, а от этого и разностная схема. Либо разрыв придется специально обсчитывать. Вы все-таки прежде чем разностную схему писать ,немного вникнуть в задачу.Исследуйте ее аналитически, а потом считайте, от этого хоть толк будет

[dasalam]

Oleg Zubelevich в сообщении #489168 писал(а):

Понятно. Задача учебная. А Вы в курсе, что у решений уравнения Хопфа бывает "опрокидывание волны"? Вы свою задачу на наличие такого эффекта проверяли? А если там волна опрокидывается, то это и с вычислительной точки зрения будет очень специальная ситуация, от этого зависит в каких пространстве будет находиться решение, а от этого и разностная схема. Либо разрыв придется специально обсчитывать. Вы все-таки прежде чем разностную схему писать ,немного вникнуть в задачу.Исследуйте ее аналитически, а потом считайте, от этого хоть толк будет

Хорошо, спасибо. Проверю на досуге. По поводу первоначального моего вопроса можете сказать что-нибудь?

[TOTAL]

dasalam в сообщении #489175 писал(а):

По поводу первоначального моего вопроса можете сказать что-нибудь?

В первоначальном вопросе Вы якобы свели уравнение к линейному относительно какой функции?

[Yu_K]

http://dxdy.ru/topic25024.html пример постановки задачи здесь.

2 Oleg Zubelevich
Численный подход тем и хорош - что не очень-то требует полного априорного анализа здачи. Ну будут там ударные волны, размажутся немного за счет схемной вязкости - ничего страшного в этом нет. А то запугаете совсем ребенка.

TVD - хорошие схемы - прекрасно считают картину течения для осесимметричного течения в сопле в нестационарном случае от момента запуска до полного установления и формирования стационарной УВ. Ролики есть на Youtube.

[dasalam]

TOTAL в сообщении #489267 писал(а):

dasalam в сообщении #489175 писал(а):

По поводу первоначального моего вопроса можете сказать что-нибудь?

В первоначальном вопросе Вы якобы свели уравнение к линейному относительно какой функции?

В дивергентной форме я получаю вот такое уравнение

$$\frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} = 0, f = U^2/2$$

Я наверное некорректно вопрос поставил. Лучше будет так: как записать TVD-схему для уравнения Хопфа?

[TOTAL]

dasalam в сообщении #489282 писал(а):

В дивергентной форме я получаю вот такое уравнение

$$\frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} = 0, f = U^2/2$$

Я наверное некорректно вопрос поставил. Лучше будет так: как записать TVD-схему для уравнения Хопфа?

Что понимаете под TVD-схемой?
Знаете ли какое-нибудь достаточное условие того, что схема обладает свойством TVD?
С какой целью переписали уравнение в дивергентной форме?