Основы теории управления. Понятие частотных характеристик.

[profrotter]

Chifu в сообщении #487600 писал(а):

profrotter писал(а):

Не только линейность! Для линейной системы с переменными параметрами принцип траспозиции в общем случае не выполняется

Неправильно, если система линейна, то выполняется, ограничения на стационарность нет.

Давайте рассмотрим простейшую линейную систему с переменным параметром: резистивный двухполюсник с переменным сопротивлением $R(t)=R_0\cos(\omega_R t)$ под воздействием гармонического тока $i(t)=I_m\cos(\omega t)$. Реакцией системы является напряжение на зажимах двухполюсника. Система описывается линейным уравнением

$$u(t)=i(t)R(t)=R_0\cos(\omega_R t)I_m\cos(\omega t)=$$

$$=\frac 1 2 R_0I_m \cos((\omega_R+\omega) t)+\frac 1 2 R_0I_m \cos((\omega_R-\omega) t)$$

Легко увидеть, что в данном случае при гармоническом воздействии в отклике системы присутствуют гармонические сигналы с частотами, которых не было в составе воздействия.

Chifu в сообщении #487600 писал(а):

Из учебника Р.К. Дорф, Р.Х. Бишоп:
Частотная характеристика определяется как реакция системы в установившемся режиме на синусоидальный входной сигнал при изменении его частоты во всём возможном диапазоне. При этом в линейной системе как входной сигнал, так и сигнал в любой другой точке в установившемся режиме являются синусоидальными; они отличаются от входного сигнала только по амплитуде и фазе.

Посмотрите, где-то в учебнике должно быть указано, что по умолчанию рассматриваются линейные системы с постоянными параметрами.
Вы это внимательно читали :

ewert в сообщении #487574 писал(а):

Физическая система описывается некоторой системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

[epros]

profrotter в сообщении #487626 писал(а):

в данном случае при гармоническом воздействии в отклике системы присутствуют гармонические сигналы с частотами, которых не было в составе воздействия

Вообще-то такие системы не называются линейными. Разве что в каком-то специальном контексте, в котором слово "линейная" означает нечто совсем иное. (Примерно как слово "взрослый" в контексте фразы про "взрослого мальчика" вовсе не означает, что он действительно взрослый).

А вот стационарного состояния у линейной системы действительно может не быть. Точнее, оно может оказаться неустойчивым. Это бывает, если импульсная характеристика при $t \to \infty$ ни к чему не сходится.

[profrotter]

epros в сообщении #487646 писал(а):

Вообще-то такие системы не называются линейными.

Мне известны только два определения для линейной системы (в разных учебниках обычно исходят от одного из них):
1. Это система, описываемая системой линейных дифференциальных или алгебраических уравнений.
2. Это система, для которой выполняется принцип суперпозиции.
Линейные системы подразделяются на системы с постоянными и системы с переменными параметрами.
А вот вашего определения я что-то не прочитал - вы что-то там про мальчиков...

[Chifu]

profrotter писал(а):

Давайте рассмотрим простейшую линейную систему с переменным параметром: резистивный двухполюсник с переменным сопротивлением $R(t)=R_0\cos(\omega_R t)$...

Cos - нелинейная функция.

ewert писал(а):

Посмотрите, где-то в учебнике должно быть указано, что по умолчанию рассматриваются линейные системы с постоянными параметрами.

Нет, там должно быть определение линейной системы. Это система, для которой выполняется принцип суперпозиции.

[epros]

profrotter в сообщении #487661 писал(а):

Линейные системы подразделяются на системы с постоянными и системы с переменными параметрами.

Угу. Просто не очень понятно, зачем Вы углубились в обсуждение систем с переменными параметрами, когда уровень топикстартера и заданный ему учительский вопрос очевидным образом далеки от этого.

[profrotter]

(Оффтоп)

epros в сообщении #487669 писал(а):

profrotter в сообщении #487661 писал(а):

Линейные системы подразделяются на системы с постоянными и системы с переменными параметрами.

Угу. Просто не очень понятно, зачем Вы углубились в обсуждение систем с переменными параметрами, когда уровень топикстартера и заданный ему учительский вопрос очевидным образом далеки от этого.

Вот и я сижу и думаю: "Зачем?" Началось лишь с того, что я исправил грубую ошибку Chifu, и он углубил меня в бесполезные обсуждения. А для автора темы, похоже, тема уже не актуальна. Зачёт прошёл.

-- Чт сен 29, 2011 16:40:12 --

Chifu в сообщении #487662 писал(а):

Cos - нелинейная функция

Связь между током (воздействием) и напряжением (реакцией) линейна - пропорциональность. А косинус, который вам не нравится лишь определяет нелинейную зависимость параметра уравнения $R(t)$ от времени.

[Chifu]

profrotter писал(а):

Связь между током (воздействием) и напряжением (реакцией) линейна - пропорциональность. А косинус, который вам не нравится лишь определяет нелинейную зависимость параметра уравнения $R(t)$ от времени.

Если коэффициент пропоциональности постоянный, то пропорцииональность, а если коэффициент пропорциональности изменяется по нелинейному закону, то отношением будет нелинейность. :)

[Mikle1990]

Mikle1990 в сообщении #486721 писал(а):

Понятие частотных характеристик.
Если подать на вход системы с предаточной функцией $W(s)$ гармонический сигнал
$x(t)=U_{m}e^{iwt}=U_{m}(\cos{wt}+i\sin{wt})$,
то после завершения переходного процесса на выходе установятся гармонические колебния
$y(t)=Y_{m}e^{i(wt+\varphi)}=Y_{m}e^{iwt}e^{i\varphi}$

На зачёте учительница попросила написать "гармонический сигнал" и "гармонические колебания" - т.е. $x(t)$ и $y(t)$. Я взял и написал, как написано выше. Она посмотрела и сказала, что надо написать эти вещи без мнимой части. Подскажите пожалуйста где найти эти формулы без мнимой части.

1. Я нашёл определение мнимой части:
Мнимая часть комплексного числа $z = х + iy$, множитель $y$ при мнимой единице $i$; М. ч. обозначается Im z.

2. Я нашёл формулу Эйлера.
$e^{i\varphi}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}$

Я хочу, чтоб вы поняли то, что если вы мне не напишите эти вещи без мнимой части, то даже если я найду то что нужно, не факт, что я пойму, что это именно оно. Будет идеально если кто-то возьмёт и напишет $x(t)$ и $y(t)$, а я уже по учебникам буду это искать.

(Оффтоп)

:-(

А может вот это всё-таки правильно?:
$ x(t)=A_{0}\sin{(wt+\varphi_{0})}$
$y(t)=A_{1}\sin{(wt+\varphi_{1})}$

[Chifu]

Mikle1990 писал(а):

Я хочу, чтоб вы поняли то, что если вы мне не напишите эти вещи без мнимой части, то даже если я найду то что нужно, не факт, что я пойму, что это именно оно. Будет идеально если кто-то возьмёт и напишет $x(t)$ и $y(t)$, а я уже по учебникам буду это искать.

Вам нужно найти формулу выражения амплитуды (модуль комплексной величины) и фазы (аргумент комплексной величины) через мнимую и действительную часть, это именно то будет и это можно найти в любом математическом справочнике.

[Mikle1990]

Chifu, ваш совет не помогает. Многие конечно могут здесь меня упрекнуть, но мало кто во внимание берёт то, что у меня могу где-то быть пробелы...

[Chifu]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0% ... 0%BB%D0%BE
$A=\sqrt{\operatorname{Re}^{2}+\operatorname{Im}^{2}}$, $\varphi =\arctg(\operatorname{Im}/\operatorname{Re})$, $0\leqslant\varphi<2\pi$, $W(j\omega)=A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}$

[Mikle1990]

Chifu, я прочитал, но все-равно не понял, как это:
$x(t)=U_{m}e^{iwt}=U_{m}(\cos{wt}+i\sin{wt})$
$y(t)=Y_{m}e^{i(wt+\varphi)}=Y_{m}e^{iwt}e^{i\varphi}$
записать без мнимой части.

[Chifu]

АЧХ это $A(\omega)$
ФЧХ это $\varphi(\omega)$
АФЧХ это $W(j\omega)$
Забейте.

[Mikle1990]

Chifu в сообщении #487741 писал(а):

АЧХ это $A(\omega)$
ФЧХ это $\varphi(\omega)$
АФЧХ это $W(j\omega)$

Я знал про это. И что?

(Оффтоп)

У меня такое подозрение, что люди сами не знаю ответ на мой вопрос.

[profrotter]

Mikle1990 в сообщении #487705 писал(а):

Я хочу, чтоб вы поняли то, что если вы мне не напишите эти вещи без мнимой части, то даже если я найду то что нужно, не факт, что я пойму, что это именно оно. Будет идеально если кто-то возьмёт и напишет и , а я уже по учебникам буду это искать.

Мы не напишем. Только вы в этой теме можете написать ответ на свой вопрос!

Mikle1990 в сообщении #487705 писал(а):

Mikle1990 в сообщении #486721 писал(а):

Понятие частотных характеристик.
Если подать на вход системы с предаточной функцией $W(s)$ гармонический сигнал
$x(t)=U_{m}e^{iwt}=U_{m}(\cos{wt}+i\sin{wt})$,
то после завершения переходного процесса на выходе установятся гармонические колебния
$y(t)=Y_{m}e^{i(wt+\varphi)}=Y_{m}e^{iwt}e^{i\varphi}$

На зачёте учительница попросила написать "гармонический сигнал" и "гармонические колебания" - т.е. $x(t)$ и $y(t)$. Я взял и написал, как написано выше. Она посмотрела и сказала, что надо написать эти вещи без мнимой части. Подскажите пожалуйста где найти эти формулы без мнимой части.

1. Я нашёл определение мнимой части:
Мнимая часть комплексного числа $z = х + iy$, множитель $y$ при мнимой единице $i$; М. ч. обозначается Im z.

2. Я нашёл формулу Эйлера.
$e^{i\varphi}=\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}$

Отлично!
$x(t)=U_{m}e^{iwt}=U_{m}(\cos{wt}+i\sin{wt})=U_{m}\cos{wt}+iU_{m}\sin{wt}$
Чему тут равен множитель при мнимой единице?
А ещё попробуйте подумать так: записать без мнимой части - это означает оставить только действительную часть, то есть такую часть выражения, которая не содержит мнимую единицу.
Теперь берите и записывайте, а мы посмотрим.