Кинетическая теория идеального газа

[anik]

Хочу доказать следующую теорему.
Пусть в некотором замкнутом объёме движутся частицы, которые упруго взаимодействуют между собой и между внутренними стенками ограничивающей объём поверхности. Тогда, давление частиц на стенки ограничивающей поверхности равно двум третьим от кинетической энергии частиц, содержащихся в единице объёма. (Можно сказать, удельной кинетической энергии частиц).
Здесь нужно сделать существенное замечание. Предполагается, что время взаимодействия частиц между собой (и со стенками) много меньше, чем время «свободного пробега» частиц, что характерно для идеального газа. Либо так: расстояние эффективного взаимодействия много меньше, чем длина свободного пробега частиц. Другими словами мы не учитываем потенциальную энергию взаимодействия частиц.
Для начала можно рассмотреть одну частицу, движущуюся внутри сферы с радиусом $r$, которая упруго взаимодействует со стенками сферы. Требуется доказать, что независимо от того по какой траектории эта частица движется внутри сферы, её среднее давление на внутреннюю поверхность сферы будет одним и тем же. Частица может даже вращаться по дуге большого круга и оказывать давление на сферу своей центробежной силой, её давление всё равно будет таким же.
У меня ещё такой вопрос: эта задача по механике, математике или термодинамике? В какой раздел её поместить?

[anik]

Проще найти давление частицы на внутреннюю поверхность сферы, полагая, что она движется, равномерно вращаясь, по окружности с радиусом $r$. Центробежная сила равна: $F=\frac{mv^2}{r}$. Отнесём эту силу к поверхности сферы: $4\pi r^2$, получим: $P=\frac{mv^2}{4\pi r^3}$; где $P$ - давление. Воспользовавшись формулой для объёма сферы $V=4/3\pi r^3$, получим: $P=\frac{mv^2}{3V}$. Обозначив $\frac{mv^2}{2}=Q$, получим: $PV=2/3Q$. Разделив $Q$ на $V$, получим удельную энергию $q$, тогда давление найдётся как: $P=\frac{2}{3}q$.

[anik]

Предположим теперь, что частица движется по диаметру сферы, упруго отражаясь от внутренней поверхности сферы. Будем считать, что время взаимодействия со сферой пренебрежимо мало, по сравнению со временем равномерного движения частицы. Тогда, зная скорость частицы, можно найти частоту соударения частицы со стенкой, либо время $t$ между двумя последовательными взаимодействиями. $t=\frac{2r}{v}$.
С каждым взаимодействием частица передаёт стенке двойной импульс. Тогда, учитывая, что $mv=Ft$, имеем: $F=\frac{2mv}{t}$. Подставляя сюда значение $t$, получим: $F=\frac{mv^2}{r}$. Мы получили среднюю силу, равную центробежной силе в предыдущем примере. Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему примеру.

Предположим теперь, что частица движется по сторонам правильного $n$-угольника. Из фактов, что угол падения равен углу отражения, падающий луч, отражённый луч и нормаль к поверхности лежат в одной плоскости, следует, что $n$-угольник будет лежать в плоскости большого круга с радиусом $r$. Пусть это будет, например, квадрат, вписанный в окружность с радиусом $r$. Импульс частицы разложим по нормали и касательной к окружности. Касательная составляющая не изменяется, а нормальная составляющая импульса действует на стенку, отражаясь от неё. Таким образом, мы имеем удвоенный нормальный импульс. Нормальный импульс равен проекции импульса на нормаль. $mv\cos(45)=mv\sqrt{2}/2$. Отсюда, сила равна: $F=\frac{mv\sqrt{2}}{t}$. Частица между двумя взаимодействиями «пробегает» сторону квадрата $r\sqrt{2}$, Время между двумя взаимодействиями равно: $t=\frac{r\sqrt{2}}{v}$. Подставляя это время в выражение для силы, получим: $F=\frac{mv^2}{r}$. Мы снова получили ту же самую среднюю силу, и, стало быть, получим то же самое среднее давление частицы на стенки сферы.
Мы выяснили, что в этих трёх частных случаях давление частицы на стенку одно и то же. Отсюда, конечно, не следует, что оно будет таким же вообще. Это нужно как-то доказать, может быть методом индукции. Но, мне как-то лень это делать. Я просто верю в то, что давление частицы на стенку зависит от её энергии (скорости), но не зависит от вида её траектории внутри сферы.
Если речь идёт о множестве частиц, движущихся внутри сферы, и упруго взаимодействующих между собой, то нужно ещё доказать, что взаимодействия частиц между собой не влияют на суммарное давление каждой частицы по отдельности. Если частицы внутри сферы движутся не сталкиваясь, то очевидно, что давление, оказываемое $n$ частицами, будет в $n$ раз больше давления одной частицы.

[anik]

Поскольку возражений никаких не поступает, осмелюсь продолжить.
Поговорим теперь о взаимодействии частиц. Будем рассматривать частицы с одинаковой массой $m$. Предположим, что одна частица неподвижна, а другая, имеющая импульс $mv$, сталкивается с первой, причем столкновение лобовое. Известно, что при этом движущаяся частица остановится, а неподвижная частица приобретёт скорость $v$, такую же, какую имела движущаяся частица. Отсюда следует, что количество движения $mv=Ft$ (импульс) полностью передаётся неподвижной частице. Почему так происходит?
Поскольку сила действия равна силе противодействия, а время взаимодействия одно и то же для обеих частиц, то $Ft$ для одной частицы будет равно $Ft$ для другой. Отсюда следует, что $mv$ для неподвижной частицы станет равным $mv$, которое имела движущаяся частица. При этом, $mv$ двух частиц до взаимодействия будет равно $mv$ этих же частиц после взаимодействия. Энергия движущейся частицы, при этом полностью передаётся частице, которая была неподвижна.
Интересно «понаблюдать» за скоростью ц.м. движущейся частицы в процессе взаимодействия. Если принять, что взаимодействие происходит мгновенно, то перемещение центра масс движущейся частицы сделает мгновенный скачок на расстояние $2r$, где $r$ - радиус эффективного взаимодействия частиц. (Если шарики типа бильярдных, то радиус эффективного взаимодействия можно принять равным радиусу бильярдного шарика). Если время взаимодействия равно $t=2r/v$, где $v$ - скорость движущейся частицы, то движущаяся частица как бы пройдет сквозь неподвижную, безо всякого взаимодействия, не изменив своей средней скорости движения $v$. Если частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, то при данном времени взаимодействия, они также «пройдут сквозь друг друга», как будто и не взаимодействовали. Если время взаимодействия больше чем $2r/v$, то взаимодействие несколько задержит движущуюся частицу, уменьшив её среднюю скорость.

[whiterussian]

anik в сообщении #482853 писал(а):

У меня ещё такой вопрос: эта задача по механике, математике или термодинамике? В какой раздел её поместить?

задача по физике. К сожалению, ваши построеня абсурдны именно с физической точки зрения.

[Toucan]

Переехали.

[whiterussian]

anik в сообщении #482853 писал(а):

Другими словами мы не учитываем потенциальную энергию взаимодействия частиц.
Для начала можно рассмотреть одну частицу, движущуюся внутри сферы с радиусом , которая упруго взаимодействует со стенками сферы.

anik в сообщении #482920 писал(а):

Проще найти давление частицы на внутреннюю поверхность сферы, полагая, что она движется, равномерно вращаясь, по окружности с радиусом .

если верно первое замечание, то что заставляет частицы двигаться по окружности?

[anik]

Дело в том, что когда газ сильно сжат, так что длина пробега становится сравнимой с расстоянием эффективного взаимодействия, то энергия газа складывается не только из кинетической энергии движущихся частиц, приходится ещё учитывать потенциальную энергию взаимодействия частиц. В этом случае газ уже не совсем идеальный.
По поводу движения по окружности. Это конечно идеализированная модель, в которой стенка предполагается гладкой, а шарик - типа шарика для бильярда. Так сказать, предельный случай движения по многоугольнику. В действительности молекула газа взаимодействует с молекулой стенки сосуда. К этому вопросу я может быть успею подойти если не забанят или не сунут в пургаторий.

[Himfizik]

anik, Вы нас готовите к большому будущему? Что же Вы все-таки хотите сказать? Или, этот так, мысли вслух и разговор с самим собой.

[anik]

А что произойдёт, если столкновение не лобовое?
Проще рассмотреть столкновение двух бильярдных шаров. Рассмотрим случай, когда один шар неподвижный, а другой движется со скоростью $v$. Проведём через точку соприкосновения шаров общую касательную плоскость. Если вектор скорости движущегося шара нормален этой плоскости, то траектория движущегося шара проходит через точку касания, и столкновение лобовое. Если вектор скорости составляет с касательной плоскостью угол $\alpha$ (назовём этот угол прицельным углом), то столкновение происходит при данном прицельном угле. Прицельный угол – это острый угол между траекторией движущегося шарика и нормалью к касательной плоскостью.
Вектор скорости (и количества движения) можно разложить по нормали к плоскости касания и касательной (перпендикулярно нормали). Нормальная составляющая: $mv\cos\alpha$, касательная составляющая: $mv\sin\alpha$.
Нормальная составляющая количества движения полностью передаётся неподвижному шару (как в случае лобового столкновения), а касательная составляющая остаётся у движущегося шара. Таким образом, шары после столкновения движутся по траекториям, составляющим между собой прямой угол, с различными скоростями. Суммарный импульс и суммарная кинетическая энергия двух шаров после столкновения не изменятся, Однако движущийся шар отдаст часть своей кинетической энергии тому шару, который был неподвижен.
Тот факт, что траектории шаров после столкновения будут взаимно перпендикулярны, вообще, известен. Здесь существенно то, что движущийся шар отдаёт часть своей энергии неподвижному шару.

-- Сб сен 17, 2011 09:49:16 --

Уважаемый Himfizik, коль мою тему поместили в раздел "помогите решить, разобраться", то я хочу изложить своё понимание поведения идеального газа. Надеюсь, что мне объяснят в чём "абсурдность моих построений".

[anik]

Как будет выглядеть взаимодействие двух шаров, если они движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями так, что их общий ц.м. остаётся неподвижным (относительно лабораторной системы отсчёта)? Полагается, что прицельный угол не равен нулю. Предположим, что шары движутся по параллельным траекториям, расстояние между которыми меньше чем $2r$ (иначе, они пролетят мимо друг друга).
В этом случае, снова проводим касательную плоскость в точке касания шаров в момент удара. Раскладываем скорость (импульс) на касательную и нормаль к этой плоскости, восстановленную в точке касания. В нормальном направлении шары обмениваются импульсами, а касательная составляющая импульса каждого шара остаётся неизменной. Шары «отскакивают» друг от друга так, как будто бы они отразились от касательной плоскости как от упругой неподвижной поверхности по закону: угол падения равен углу отражения. Их траектории после взаимодействия будут снова параллельны друг другу, с таким же расстоянием между этими параллельными линиями. Траектория каждого шара изменит направление на величину $2(\pi-\alpha)$, где $\alpha$ - прицельный угол (учтено изменения направления движения).
Кинетические энергии каждого шара и их импульсы (по модулю) останутся неизменными. Поскольку взаимодействие двух шаров между собой это их внутреннее взаимодействие, оно никак не отразится на давлении шаров на ограничивающую поверхность. Здесь тоже можно было оценить влияние времени взаимодействии шаров на их среднюю скорость (имеется в виду средняя скорость движения частицы, с учётом возможных задержек на взаимодействия с другими частицами). Но, как мы договорились, для идеального газа время взаимодействия пренебрежимо мало, по сравнению со временем свободного пробега.

[EvilPhysicist]

anik, вы бы почитали учебники по общей физике. На мой взгляд это продуктивнее чем вести в чате беседу с самим собой.

[anik]

Я читал учебники по физике. Читал, в частности, как полируют кремниевый шар для получения числа Авогадро. В учебниках по физике сказано (по памяти) примерно так: несмотря на то, что температура и теплота имеют одинаковые размерности, тем не менее, это различные физические величины. Я этого не понимаю.
А что Вы можете сказать по поводу формулы: $P=2/3q$? Я такой в учебниках не видел. Отсюда, наверное, сразу следует, что она не верна?
Вообще, хотелось бы отвечать на конкретные, замечания по существу.

[EvilPhysicist]

anik в сообщении #483674 писал(а):

В учебниках по физике сказано (по памяти) примерно так: несмотря на то, что температура и теплота имеют одинаковые размерности

В системе СГС - да, в СИ - нет. Это видно даже из первого начала $ dQ= p dV + A $ - размерность теплоты Джоуль или Эрг. $ PV=\nu RT $ - размерность температуры - Кельвин в СИ или Эрг в СГС, где колличество вещества безразмерная единица.

anik в сообщении #483674 писал(а):

А что Вы можете сказать по поводу формулы: $P=2/3q$? Я такой в учебниках не видел

Я тоже. $P$ я так пологаю тут давление, что такое $q$?

[anik]

EvilPhysicist в сообщении #483684 писал(а):

$P$ я так пологаю тут давление, что такое $q$?

anik в сообщении #482920 писал(а):

Обозначив $\frac{mv^2}{2}=Q$, получим: $PV=2/3Q$. Разделив $Q$ на $V$, получим удельную энергию $q$, тогда давление найдётся как: $P=\frac{2}{3}q$.

$q$ - удельная теплота, т.е. количество теплоты, содержащейся в единице объёма. Здесь я полагаю, что для идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, тепловая энергия равна суммарной кинетической энергии движения его частиц.