Вычисление центрального момента 3-го порядка

[Sjutka]

ShMaxG в сообщении #470611 писал(а):

Получившиеся интегралы берутся из таблиц:
$ \[\begin{gathered} \int\limits_0^{ + \infty } {\ln t\exp \left( { - t} \right)dt} = - \gamma \hfill \\ \int\limits_0^{ + \infty } {{{\ln }^2}t\exp \left( { - t} \right)dt} = {\gamma ^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{6} \hfill \\ \int\limits_0^{ + \infty } {{{\ln }^3}t\exp \left( { - t} \right)dt} = - 2\zeta \left( 3 \right) - {\gamma ^3} - \gamma \frac{{{\pi ^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]$

ShMaxG!
Подскажите, пожалуйста, какими таблицами вы пользовались в даном случае для полученных интегралов? Спасибо!

[ShMaxG]

Изначально я вычислил эти интегралы в http://www.wolframalpha.com. Мне показалось, что эти интегралы должны быть табличными.
Первый интеграл действительно можно найти у Двайта, "Таблицы интегралов и другие математические функции" в разделе "Определенные интегралы", остальные два я не нашел.

Но для вычисления двух последних интегралов можно учесть, что они -- производные гаммы-функции в единице. Производные гаммы-функции выражаются через т.н. полигамму-функцию, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma_function. Ее значения в единице:

$\[{\psi ^{\left( m \right)}}\left( 1 \right) = {\left( { - 1} \right)^{m + 1}}m!\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {1 + k} \right)}^{m + 1}}}}} \]$

Для вычисления второй и третей производных гамма-функции в единице потребуется знать значения $\[{\psi ^{\left( 1 \right)}}\left( 1 \right)\]$ и $\[{\psi ^{\left( 2 \right)}}\left( 1 \right)\]$. Они уже очень хорошо известны, отсюда берутся $\[\frac{{{\pi ^2}}}{6}\]$ и дзета-функция в тройке.

[Sjutka]

Спасибо!!!

[Sjutka]

ShMaxG в сообщении #470777 писал(а):

Для вычисления второй и третей производных гамма-функции в единице потребуется знать значения $\[{\psi ^{\left( 1 \right)}}\left( 1 \right)\]$ и $\[{\psi ^{\left( 2 \right)}}\left( 1 \right)\]$. Они уже очень хорошо известны, отсюда берутся $\[\frac{{{\pi ^2}}}{6}\]$ и дзета-функция в тройке.

ShMaxG!

Снова обращаюсь к Вам с просьбой о помощи.
Для вычисления значений полигамма-функции использовал следующее выражение как продолжение указаного Вами (Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1, с. 59):

$$\psi^{(n)} (1)=(-1)^{n+1} \cdot n! \cdot \zeta(n+1,z),$$

тоесть
1) при $n=1$ и $z=1$

$$\psi^{(1)} (1)=(-1)^{1+1} \cdot 1! \cdot \zeta(1+1,1)=\zeta(2,1)=\frac {\pi^{2}} {6};$$

2) при $n=2$ и $z=1$

$$\psi^{(2)} (1)=(-1)^{2+1} \cdot 2! \cdot \zeta(2+1,1)= -2\cdot \zeta(3,1)=-2\cdot \zeta(3).$$

Интересует следующее:
1. Таблированы ли значения зета-функции или же их нужно вычислять для заданих параметров $z$ и $n$. Буду благодарен если подскажете на что в первую очередь нужно обратить внимание при изучении материала касающегося зета-функции.
2. При выражении производной от гамма-функции через полигамма-функцию необходимо пользоваться следующим выражанием:

$$\psi^{(n)} (z)=\frac{d^{n+1}\ln\Gamma(z)} {dz^{n+1}}=\frac{d^{n}\psi(z)} {dz^{n}}.$$

Буду благадарен, если укажите ссылку на примеры с вычислением производных от гамма-функций (производных от гамма-функций через полигамма-функции).
Спасибо!!!

[ShMaxG]

Я в жизни с дзета-функцией Римана и полгамма-функцией не работал.

Sjutka в сообщении #471172 писал(а):

1. Таблированы ли значения зета-функции или же их нужно вычислять для заданих параметров $z$ и $n$. Буду благодарен если подскажете на что в первую очередь нужно обратить внимание при изучении материала касающегося зета-функции.

Значения естественно табулированы. Дело в том, что дзета-функция -- это ряд, который ни во что конечное не сворачивается. Я уверен, что существуют таблицы. Сам их не знаю.

Sjutka в сообщении #471172 писал(а):

Буду благадарен, если укажите ссылку на примеры с вычислением производных от гамма-функций (производных от гамма-функций через полигамма-функции).

Ссылки не укажу, однако замечу, что производные гаммы-функции находятся элементарно, если известны производные полигамма-функции. Просто вычисляйте производные логарифма гамма-функции, получайте выражение с производными гамма-функции. Зная производную гаммы-функции в 1 найдите с $n=1$ вторую производную гаммы-функции и с $n=2$ третью.

[Sjutka]

ShMaxG в сообщении #471180 писал(а):

Просто вычисляйте производные логарифма гамма-функции, получайте выражение с производными гамма-функции. Зная производную гаммы-функции в 1 найдите с $n=1$ вторую производную гаммы-функции и с $n=2$ третью.

Проблема была в том, что я записал выражения для пси-функции
1) при $n=1$

$$\psi^{(1)} (1)=\frac {d^{2} \ln\Gamma(z)} {dz^{2}},$$

2) при $n=2$

$$\psi^{(2)} (1)=\frac {d^{3} \ln\Gamma(z)} {dz^{3}},$$

предполагая, что они равны $\frac {\pi^2} {6} $ и $-2 \cdot \zeta (3)$ соответсвенно - в этом была ошибка. Поскольку не знал нужно ли вычислять производную логарифма гамма-функции. Теперь понятно. Спасибо!!!

[Sjutka]

Здравствуйте!
Нужна помощь в поисках ответа на следующий вопрос:
имеем

$$\mu= 1/\lambda \int\limits_{-\infty}^{\infty} (x-m)^3 \exp(-(x-\mu)/\lambda-\exp(-(x-\mu)/\lambda)) dx$$

при замене $x$ на $\sqrt x$ получаем следующее выражение

$$\mu= 1/\lambda \int\limits_{-\infty}^{\infty} (\sqrt x-m)^3 \exp(-(\sqrt x-\mu)/\lambda-\exp(-(\sqrt x-\mu)/\lambda)) dx$$

необходимо ли находить дифференциал с учетом проделаной замены, то есть

$$d(\sqrt x)=\frac{1}{\sqrt x} dx$$

Спасибо!

[--mS--]

Во-первых, такая замена в этом интеграле невозможна. Икс менялся от минус до плюс бесконечности, корень из икс же отрицательным не бывает.
Во-вторых, если уж менять переменную на новую, то все её вхождения: $\int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^b f(t)dt=\int\limits_a^b f(u)du=\int\limits_a^b f(\xi)d\xi=\ldots$.

А зачем понадобилась такая замена?

[Sjutka]

--mS-- в сообщении #551708 писал(а):

Во-первых, такая замена в этом интеграле невозможна. Икс менялся от минус до плюс бесконечности, корень из икс же отрицательным не бывает.
Во-вторых, если уж менять переменную на новую, то все её вхождения: $\int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^b f(t)dt=\int\limits_a^b f(u)du=\int\limits_a^b f(\xi)d\xi=\ldots$.

А зачем понадобилась такая замена?

Аналитически доказать, что путем преобразования значений $x$ ($x\in(0,\infty)$) можна уменьшить значение коэффициента асимметрии для закона распределения максимального значения (распределение Гумбеля), используя одно из преобразований следуюющего вида:
1) $\sqrt x$;
2) $\frac {1} {x}$;
3) $\lg x$;
P.S.
В Maple, анализируя графики, оптимальным получается преобразование $\frac {1} {x}$. К тому же, если $x\in(0,\infty)$, могу ли определять центральный момент 3-го порядка именно в этом интервале.

[--mS--]

Ни слова не понимаю из написанного. Что значит "путём преобразования значений $x$"? Почему $x\in(0,\,\infty)$, когда интеграл по всей прямой? Что значит "уменьшить значение коэффициента асимметрии для закона ..." - коэффициент асимметрии есть число (одно, конкретное, фиксированное), зависящее лишь от параметров, но никак не от $x$, и только изменение параметров может его менять - при чём тут вообще $x$?

[Sjutka]

--mS-- в сообщении #551904 писал(а):

Ни слова не понимаю из написанного. Что значит "путём преобразования значений $x$"? Почему $x\in(0,\,\infty)$, когда интеграл по всей прямой? Что значит "уменьшить значение коэффициента асимметрии для закона ..." - коэффициент асимметрии есть число (одно, конкретное, фиксированное), зависящее лишь от параметров, но никак не от
$x$, и только изменение параметров может его менять - при чём тут вообще $x$?

Преобразование переменных - один из подходов к устранению асимметричности формы закона распределения, например, для закона распределения Гумбеля при неизменных параметрах положения $\mu=4$ и масштаба $\lambda=1$ получаем следующий результат:

[--mS--]

Первый график - это график $p(x)$. А на втором графике изображена функция $f(x')=p(1/x')=\dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{1/x'-\mu}{\lambda} - e^{-\frac{1/x'-\mu}{\lambda}}}$ при $x'>0$?

Ну в таком случае эту кривую во-первых, нужно отнормировать, чтобы она была плотностью. Во-вторых, вычислить новый центр масс, и уже относительно него вычислять новый третий центральный момент $\int\limits_0^\infty (x' - m')p(1/x') dx'$. Только потом ещё и делить придётся на куб нового с.к.о.

С корнем из $x$ - тем более не так. График $p(x)$ при замене $x'=\sqrt{x}$ превратится в график $f(x')=p({x'}^2)$. А не от корня.

[Sjutka]

Спасибо, --mS--!
По ходу изложения хочу спросить, что означает :

--mS-- в сообщении #551977 писал(а):

...отнормировать, чтобы она была плотностью...

И, как следствие,

--mS-- в сообщении #551977 писал(а):

С корнем из $x$ - тем более не так. График $p(x)$ при замене $x'=\sqrt{x}$ превратится в график $f(x')=p({x'}^2)$. А не от корня.

для случая

$$x'=\log_a x$$

имеем

$$f(x')=p(a^{x'})=\dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{a^{x'}-\mu}{\lambda}-e^{-\frac{a^{x'}-\mu}{\lambda}}}, при x>0$$

К тому же, справедливо следующее выражение

$$\int \limits_{0}^{\infty}\ln^{-1}(t) e^{-t}dt=\frac{1}{-\gamma}$$

[--mS--]

Sjutka в сообщении #551988 писал(а):

Спасибо, --mS--!
По ходу изложения хочу спросить, что означает :

--mS-- в сообщении #551977 писал(а):

...отнормировать, чтобы она была плотностью...

Поделить функцию на общую площадь её подграфика на полупрямой $(0,\infty)$. Чтобы получившаяся функция имела единичную площадь подграфика и тем самым была плотностью.

Sjutka в сообщении #551988 писал(а):

И, как следствие,
для случая

$$x'=\log_a x$$

имеем

$$f(x')=p(a^{x'})=\dfrac{1}{\lambda}e^{-\frac{a^{x'}-\mu}{\lambda}-e^{-\frac{a^{x'}-\mu}{\lambda}}}, при x>0$$

Ну, наверное. Мне вообще трудно понять смысл проводимых преобразований. Изменить плотность, чтобы стала симметричнее? Ну так это можно много как, только старой плотности-то от этого лучше не станет. Например, просто можно выбросить старую и вместо неё взять новую, уже симметричную.

[Sjutka]

--mS-- в сообщении #551994 писал(а):

Поделить функцию на общую площадь её подграфика на полупрямой . Чтобы получившаяся функция имела единичную площадь подграфика и тем самым была плотностью.

Если Вас не затруднит, приведите пример для моего случая.

--mS-- в сообщении #551994 писал(а):

Мне вообще трудно понять смысл проводимых преобразований.

Для аппроксимации полученой "симметричной" кривой нормальным законом.

--mS-- в сообщении #551994 писал(а):

Изменить плотность, чтобы стала симметричнее? Ну так это можно много как

Можете привести примеры других подходов к изменению плотности?!

Спасибо!!!