Вычисление центрального момента 3-го порядка

[Sjutka]

Здравствуйте!
Просьба помочь в вычисленнии центрального момента 3-го порядка для распределения максимального значения случайной величины:

\begin{multline*} \mu= 1/\lambda $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^3 \exp(-(x-\mu)/\lambda-\exp(-(x-\mu)/\lambda)) dx$$= \end{multline*} \begin{multline*} =$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^3 \left(\exp(-\exp(-(x-\mu)/\lambda)) \cdot (1/\lambda \cdot \exp(-(x-\mu)/\lambda))\right) dx $$= \end{multline*} \begin{multline*} =$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^3\,d(\exp(-\exp(-(x-\mu)/\lambda))) =x^3\, \cdot \exp(-\exp(-(x-\mu)/\lambda))\,\bigg|_{-\infty}^{\infty} - \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp(-\exp(-(x-\mu)/\lambda))\,d(x^3)$$ \end{multline*}

При этом трудности возникают c вычислением данного интеграла:

$$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp(-\exp(-(x-\mu)/\lambda))\,d(x^3)$$ $

Возможно, нужно далее продолжать интегрирование по частям или же делать замену переменных? Буду благодарен за помощь!!!

P.S. И, существуют ли источники в которохых были бы показаны примеры вычисления значений центральных моментов для разных законов распределения случайной величины? Спасибо!!!

[ShMaxG]

Sjutka в сообщении #470270 писал(а):

для распределения максимального значения случайной величины

Что-то я не пойму, это как вообще? И какой случайной величины?

[Sjutka]

Спасибо!

На ст. 118-120 Справочника по вероятностным распределениям (автор Вадзинский Р.Н., 2001 год) изложен материал, касающейся "распределения максимального значения". Хочу разобраться, каким образом определен для него коэффициент асиметрии $S_{^k} =1,1395$.
На ст. 18 указаного источника отмечено,что данный коэффициент определяется следующим образом:
$S_{^k} =\frac {\mu_{3}(X)} {\sigma_{3}(X)},
где
{\mu_{3}(X)}=$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^3 \cdot f(X)dx$$,
X - непрерывная случайная величина,
f(X) - закон распределения максимального значения, $f(X)=\frac 1 \lambda \cdot \exp(-\frac {x-\mu} {\lambda} - \exp(-\frac {x-\mu} {\lambda})).$

[ShMaxG]

А, случайная величина, обладающая т.н. распределением максимального значения.
Судя по значению третьего центрального момента в этой книжке, в элементарных функциях вычислить ничего не удастся. Можно как-то свести исходный интеграл к дзета-функции Римана. Вам это действительно надо?

[Sjutka]

Да, !

[ShMaxG]

Понимаете тут в чем дело,

$$\[{\mu _3} = \frac{1}{\lambda }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left( {x - m} \right)}^3}\exp \left( { - \frac{{x - \mu }}{\lambda } - \exp \left( { - \frac{{x - \mu }}{\lambda }} \right)} \right)dx} = \int\limits_0^{ + \infty } {{{\left( {\mu - \lambda \ln t - m} \right)}^3}\exp \left( { - t} \right)} dt\]$$

Замена: $\[t = \exp \left( { - \frac{{x - \mu }}{\lambda }} \right)\]$.

Интеграл справа расходится в нуле, а слева -- сходится. Я не знаю, в чем тут дело, но можно попробовать вычилить моменты через характеристическую функцию.

Характеристическая фукнция такой случайной величины:

$\[\chi \left( t \right) = \Gamma \left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}}\]$.

Третий центральный момент: $\[{\mu _3} = {m_3} - 3{m_2}{m_1} + 2m_1^3\]$.

По формуле $\[{m_n} = {\left( { - i} \right)^n}\frac{{{d^n}}}{{d{t^n}}}\chi \left( 0 \right)\]$ можно попробовать вычислить три момента.

Например, $\[{m_1} = - i\frac{{d\chi }}{{dt}}\left( 0 \right) = - \lambda \Gamma '\left( 1 \right) + \mu = \lambda \gamma + \mu \]$. Здесь $\[\gamma = - \Gamma '\left( 1 \right) \approx 0.57722\]$ -- константа Эйлера.

Вот производные характеристической функции:

$$\[\frac{{d\chi }}{{dt}} = - i\lambda \Gamma '\left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}} + i\mu \Gamma \left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}}\]$$

$$\[\frac{{{d^2}\chi }}{{d{t^2}}} = {\left( { - i\lambda } \right)^2}\Gamma ''\left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}} + 2\left( { - i\lambda } \right)\left( {i\mu } \right)\Gamma '\left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}} + {\left( {i\mu } \right)^2}\Gamma \left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}}\]$$

$$\[\begin{gathered} \frac{{{d^3}\chi }}{{d{t^3}}} = {\left( { - i\lambda } \right)^3}\Gamma '''\left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}} + 3{\left( { - i\lambda } \right)^2}\left( {i\mu } \right)\Gamma ''\left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}} + \hfill \\ {\text{ }} + 3\left( { - i\lambda } \right){\left( {i\mu } \right)^2}\Gamma '\left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}} + {\left( {i\mu } \right)^3}\Gamma \left( {1 - i\lambda t} \right){e^{i\mu t}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Подставьте везде $t=0$. Вот значения производных гамма-функций в единице:

$\[\begin{gathered} \Gamma '\left( 1 \right) = - \gamma \hfill \\ \Gamma ''\left( 1 \right) = {\gamma ^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{6} \hfill \\ \Gamma '''\left( 1 \right) = - 2\zeta \left( 3 \right) - {\gamma ^3} - \gamma \frac{{{\pi ^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Свойства гамма-функции можете посмотреть, например, здесь: http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/

Попробуйте хоть так.

[Sjutka]

ShMaxG в сообщении #470381 писал(а):

Попробуйте хоть так.

Cпасибо, буду пробовать!

[Александрович]

Sjutka в сообщении #470364 писал(а):

На ст. 18 указаного источника отмечено,что данный коэффициент определяется следующим образом:
$S_{^k} =\frac {\mu_{3}(X)} {\sigma_{3}(X)},

А момент второго или первого порядка удалось найти?

[ewert]

ShMaxG в сообщении #470381 писал(а):

Интеграл справа расходится в нуле, а слева -- сходится.

И справа вполне себе сходится. Подумаешь, логарифм.

[ShMaxG]

ewert в сообщении #470489 писал(а):

Подумаешь, логарифм.

А, да. На мгновение показалось, что раз там функция в бесконечность уходит, значит не интегрируема...

Ну тогда можно и так:

$$\[\begin{gathered} \int\limits_0^{ + \infty } {{{\left( {\mu - m - \lambda \ln t} \right)}^3}\exp \left( { - t} \right)dt} = {\left( {\mu - m} \right)^3} - 3{\left( {\mu - m} \right)^2}\lambda \int\limits_0^{ + \infty } {\ln t\exp \left( { - t} \right)dt} + \hfill \\ {\text{ }} + 3\left( {\mu - m} \right){\lambda ^2}\int\limits_0^{ + \infty } {{{\ln }^2}t\exp \left( { - t} \right)dt} - {\lambda ^3}\int\limits_0^{ + \infty } {{{\ln }^3}t\exp \left( { - t} \right)dt} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Получившиеся интегралы берутся из таблиц:
$ \[\begin{gathered} \int\limits_0^{ + \infty } {\ln t\exp \left( { - t} \right)dt} = - \gamma \hfill \\ \int\limits_0^{ + \infty } {{{\ln }^2}t\exp \left( { - t} \right)dt} = {\gamma ^2} + \frac{{{\pi ^2}}}{6} \hfill \\ \int\limits_0^{ + \infty } {{{\ln }^3}t\exp \left( { - t} \right)dt} = - 2\zeta \left( 3 \right) - {\gamma ^3} - \gamma \frac{{{\pi ^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Ну и с учетом того, что матожидание $\[m = \mu + \lambda \gamma \]$, тривиально получается ответ.

Так что лобовое решение в данном случае оказывается на порядок проще, чем решение через характеристические функции.

[Sjutka]

Спасибо за уделенное внимание и подсказки!!!

-- Пт июл 22, 2011 18:49:03 --

Александрович в сообщении #470486 писал(а):

Sjutka в сообщении #470364 писал(а):

На ст. 18 указаного источника отмечено,что данный коэффициент определяется следующим образом:
$S_{^k} =\frac {\mu_{3}(X)} {\sigma_{3}(X)},

А момент второго или первого порядка удалось найти?

Нет, я их не вычислял. Изначально придерживался обозначенной формулы.

[Евгений Машеров]

Это называется "распределение Гумбеля".
http://mathworld.wolfram.com/GumbelDistribution.html
Или тут:
http://lib.mexmat.ru/books/54102

[ShMaxG]

Распределение Гумбеля по первой ссылке -- распределение миминмального значения (а в этой теме -- максимального). Но по всей видимости, разница между ними не большая.

[Евгений Машеров]

Обычно именуют распределением экстремальных значений. Для минимума и максимума изменения простые.

[Sjutka]

ShMaxG в сообщении #470681 писал(а):

Распределение Гумбеля по первой ссылке -- распределение миминмального значения (а в этой теме -- максимального). Но по всей видимости, разница между ними не большая.

Разница между данными распределениями, только в отсутствии знака "$-$" при записи параметра экспоненциальной функции.
1) для распределения минимального значения

$$f(x)=\frac1\lambda \exp\left(\frac{x-\mu}{\lambda} - \exp\left(\frac{x-\mu}{\lambda} \right)\right),$$

ст. 115-118 Справочника по вероятностным распределениям (автор Вадзинский Р.Н., 2001 год);

2)для распределения максимального значения

$$f(x)=\frac1\lambda\exp\left(-\frac{x-\mu}{\lambda} - \exp\left(-\frac{x-\mu}{\lambda} \right)\right),$$

ст. 118-120 Справочника по вероятностным распределениям (автор Вадзинский Р.Н., 2001 год).