Вопрос про бозоны

[druggist]

Вопрос может показаться надуманным и тем не менее...
При выводе формулы для черного излучения принимается, что химпотенциал системы - идеального газа из фотонов- равен нулю. Это обусловлено тем, что колечество частиц не фиксировано, так как фотоны могут рождаться и поглощаться веществом. Для фотонов вопрос о их равновесном(при данной температуре) количестве в наинизшем(с нулевой частотой) энергетическом состоянии не имеет смысла, поскольку их в данном состоянии просто не существует. Пусть теперь имеется идеальный газ из атомов - бозонов и пусть также имеем условие равенства нулю химпотенциала, частицы-атомы могут рождаться и уничтожаться(не будем уточнять механизм рождения-уничтожения частиц). Наинизшее энергетическое состояния для частиц в этом случае будет состояние с нулевым импульсом. Мне не понятно чем будет определяться количество атомов в наинизшем энергетическим состоянием при фиксированной температуре и нулевым химпотенциалом?

[Munin]

Для атомов просто химпотенциал не будет нулевым. У вас имеются две функции: плотность состояний от энергии и вероятность заполнения состояния от энергии. Вторая - функция распределения Планка, параметризованная температурой и химпотенциалом, и при фиксированной температуре она просто сдвигается вверх-вниз по энергии вместе с химпотенциалом как с начальной точкой. Интеграл от произведения этих функций вам известен - это просто число частиц в системе (или объёмная плотность, смотря по задаче). Поэтому, зная этот интеграл, мы можем подогнать положение функции распределения Планка, и соответственно значение химпотенциала, так чтобы интеграл от произведения принял нужное значение. Химпотенциал и число частиц взаимно-однозначно связаны, а не два независимых параметра.

[druggist]

Munin в сообщении #463877 писал(а):

Для атомов просто химпотенциал не будет нулевым.

Это почему же?

Мы имеем равновесную функцию распределения(лучше все-таки не называть ее "функция распределения Планка" - эта частный случай функции распределения Бозе-Энштейна для идеального газа фотонов с нулевым химпотенциалом и уж никак не может быть им(химпотенциалом) "параметризованной" ) Равенство химпотенциала нулю как для фотонов, так и для других частиц означает, что равна нулю производная свободной энергии по числу частиц, то есть, число частиц не фиксировано, не есть внешнее ограничение, а определяется минимумом свободной энергии, количество частиц в системе при равновесии таково, чтобы обеспечить этот минимум. Теперь о том, сколько их будет в основном состоянии(с наинизшей энергией) и нулевым химпотенциалом. Для интереса посмотрим сколько их будет в системах, описываемых статистикой Больцмана и Ферми-Дирака. Для функции распределения Больцмана среднее число частиц в наинизшем сосотоянии будет равно 1, а для Ф.-Д. - 0,5. Для Бозе-Эйнштейна - бесконечность, т.е., для термодинамического равновесия в системе идеального газа бозонов необходимо иметь бесконечное число частиц. Конечно, нужно иметь в виду, что при увеличении числа частиц скорее всего будет неприменима статистика для идеального газа, но формально это так.

Теперь о том, почему был задан вопрос. Дело в том, что при определенном устройстве плотности энергетических состояний(наличие "энергетической щели") возможно явление Бозе-Эйнштейновской конденсации. Допустим, мы стартуем с малых значений N - числа частиц в системе. При стремлении системы к равновесию(мы по прежнему полагаем химпотенциал равным 0) , N будет расти. Но с ростом N мы подходим к "точке конденсации".(В данном случае, в отличии от описанного в учебниках изменяется не T, а N). Далее у нас может расти только число частиц в основном состоянии - в новой фазе. Но вот вопрос, будет ли расти эта новая фаза, будет ли возрастать число частиц в системе или система установится в точку фазового перехода и число частиц расти дальше не будет?

[Munin]

druggist в сообщении #463990 писал(а):

Это почему же?

Потому что он нам заранее неизвестен. Именно из числа частиц мы его и можем определить. Именно число частиц он и выражает (несколько косвенно). Разумеется, если при $T=0$ число частиц у нас нуль, а все наличные частицы являются порождёнными за счёт ненулевой температуры, то химпотенциал для этого сорта частиц будет нуль. Но для атомов такого не случается.

druggist в сообщении #463990 писал(а):

лучше все-таки не называть ее "функция распределения Планка" - эта частный случай функции распределения Бозе-Энштейна

Согласен, Бозе-Эйнштейна. Простите мне мою оговорку.

druggist в сообщении #463990 писал(а):

Теперь о том, сколько их будет в основном состоянии(с наинизшей энергией) и нулевым химпотенциалом. Для интереса посмотрим сколько их будет в системах, описываемых статистикой Больцмана и Ферми-Дирака. Для функции распределения Больцмана среднее число частиц в наинизшем сосотоянии будет равно 1, а для Ф.-Д. - 0,5. Для Бозе-Эйнштейна - бесконечность, т.е., для термодинамического равновесия в системе идеального газа бозонов необходимо иметь бесконечное число частиц.

Теперь помножьте эту бесконечность на то, что плотность состояний при нулевой энергии обращается в нуль. Для фотонов - вы знаете как. Для массивных частиц - она обращается в нуль задолго до нулевой энергии, ещё для $E=mc^2.$ То есть в результате бесконечного числа частиц никогда не получается.

druggist в сообщении #463990 писал(а):

Конечно, нужно иметь в виду, что при увеличении числа частиц скорее всего будет неприменима статистика для идеального газа, но формально это так.

Как раз применима, а эффекты взаимодействия между частицами проявляются иначе: меняют энергетический спектр (функцию плотности состояний), могут даже вводить новые сорта частиц (например, связанное состояние протона и элетрона - атом водорода). Статистика начинает сбоить в другом случае: когда система неравновесная, и равновесная функция распределения не успевает установиться. Тогда надо расчехлять аппарат кинетики.

druggist в сообщении #463990 писал(а):

Теперь о том, почему был задан вопрос. Дело в том, что при определенном устройстве плотности энергетических состояний(наличие "энергетической щели") возможно явление Бозе-Эйнштейновской конденсации.

Ага, понятно. В этом случае бесконечность действительно возникает. Но она "игрушечная" - она просто означает некоторое очень большое ("макроскопическое") число частиц в этом основном состоянии. На самом деле в нём, разумеется, не бесконечно много частиц, а некоторая макроскопическая доля от $N$ - полного числа частиц в системе. Но когда мы спускаемся на микроуровень, это число по сравнению со всеми другими кажется бесконечным, а обеспечивающий его химпотенциал - практически неотличим от нулевого.

druggist в сообщении #463990 писал(а):

Допустим, мы стартуем с малых значений N - числа частиц в системе. При стремлении системы к равновесию(мы по прежнему полагаем химпотенциал равным 0) , N будет расти.

Система может быть равновесна при любом $N.$ Для этого ей надо всего лишь дать постоять и релаксировать. Число частиц вообще не растёт само по себе (пока мы не влетаем в рождение частиц за счёт энергии), а задаётся как внешний параметр, мы можем регулировать его как хотим, добавляя или вынимая частицы по одной.

То, что вы описываете, вызывается другими причинами: интеграл, который я выше упоминал (чёрт, надо бы открыть любой справочник, и написать это буковками), распадается на два слагаемых. Первое - несконденсированные частицы, второе - "произведение нуля на бесконечность", сконденсированная часть. Из-за того, что химпотенциал привязан к нулевому значению (но не строго нуль, а повторяю, практически неотличим от нулевого), первое слагаемое теряет ту свободу, о которой я говорил в первом ответе. Поэтому в первом слагаемом имеется всегда фиксированное число частиц, и растёт только второе слагаемое. При повышении температуры, или когда $N$ крайне мало (сравнимо с первым слагаемым), химпотенциал "отвязывается" от нуля, но очевидно, этот процесс плавный.

[druggist]

Munin в сообщении #464040 писал(а):

Система может быть равновесна при любом Для этого ей надо всего лишь дать постоять и релаксировать. Число частиц вообще не растёт само по себе (пока мы не влетаем в рождение частиц за счёт энергии), а задаётся как внешний параметр, мы можем регулировать его как хотим, добавляя или вынимая частицы по одной.

Это пожалуй основной момент недопонимания. То, о чем я писал относится к случаю, когда число частиц именно что "растет само по себе"( как впрочем и может падать тоже "само по себе") точно также как растет или падает число фотонов рождаемых и поглощаемых веществом прификсированной температуре. Как могут рождаться(появляться) или уничтожаться(уходить из системы) частицы-бозоны мне в данном случае не важно, это другой вопрос. Химпотенциал такой системы равен нулю. Попробую еще раз другими словами. Как находится равновесная функция распределения для ид. газа бозонов, фермионов, "больцманонов"? (См., например, &40, 55, ЛЛ5ч1)
Ищется условный максимум энтропии методом неопределенных множителей Лагранжа. Одним из условий может быть постоянство числа частиц в системе, тогда этот множитель не равен нулю. Однако это условие может отсутствовать(как ,например, для фотонов в случае черного тела), тогда естественно этот множитель должен быть равен нулю(условия нет). Надеюсь, для вас очевидна связь этого множителя с химпотенциалом. Еще раз, когда химпотенциал не ноль, число частиц - внешний параметр, когда ноль - число частиц "регулируется системой", метод Лагранжа, ничего более...

[Munin]

druggist в сообщении #464093 писал(а):

То, о чем я писал относится к случаю, когда число частиц именно что "растет само по себе"( как впрочем и может падать тоже "само по себе") точно также как растет или падает число фотонов рождаемых и поглощаемых веществом прификсированной температуре. Как могут рождаться(появляться) или уничтожаться(уходить из системы) частицы-бозоны мне в данном случае не важно, это другой вопрос.

Это важно всегда. Систем, описанных вами, не бывает в природе. Мы можем оградить систему стенками, и предотвратить любые прибытия и уходы частиц. Можем не ограничивать, но тогда можем следить за потоками через границы. Единственный незакрытый путь - тепловое рождение. Собственно, вы делаете большую ошибку, сопоставляя фотоны с переохлаждёнными атомами напрямую, это разные системы, являющиеся разными частными случаями более общего варианта, и сравнимы только косвенно. Фотоны, грубо говоря, всегда "горячие", находятся в состоянии ультрарелятивистского газа, где число частиц определяется целиком температурой (в силу нулевой массы), а атомы, напротив, в релятивистском смысле "абсолютно холодные", их энергия всегда сильно ниже $mc^2$ (ионизация атомов начинается намного раньше, чем могло бы начаться их рождение). Вам надо рассмотреть бозонную систему в общем случае, и перейти от неё к этим двум частным.

druggist в сообщении #464093 писал(а):

Химпотенциал такой системы равен нулю.

Неверно! Это верно только для фотонов, и только потому, что они не несут никакого сохраняющегося заряда.

druggist в сообщении #464093 писал(а):

Надеюсь, для вас очевидна связь этого множителя с химпотенциалом.

Пока нет, посмотрю. Я это читал в детстве, не по ЛЛ, а по Киттелю.

druggist в сообщении #464093 писал(а):

Еще раз, когда химпотенциал не ноль, число частиц - внешний параметр, когда ноль - число частиц "регулируется системой", метод Лагранжа, ничего более...

Я пытаюсь изложить физический взгляд, без мистики, когда нет никаких "регулируется системой". Есть число частиц, которое останется в системе, если её охладить до абсолютного нуля. Для фотонов это ноль, для других видов частиц легко может быть не ноль. Потом мы нагреваем систему до нужной температуры и (может быть!) рождаем этим ещё какое-то число частиц. В нагретую систему мы тоже можем добавлять частицы, причём если мы добавили одну частицу, вовсе не обязательно, что внутри прибавилась тоже одна. С фотонами, например, это особенно ярко проявляется: при добавлении фотона энергии $E$ внутри добавляется в среднем $E/kT$ штук фотонов. Не знаю, насколько это можно назвать "внешний параметр" (выше я так сказал с оговоркой).

-- 01.07.2011 23:30:37 --

druggist в сообщении #464093 писал(а):

Как находится равновесная функция распределения для ид. газа бозонов, фермионов, "больцманонов"? (См., например, &40, 55, ЛЛ5ч1)Ищется условный максимум энтропии методом неопределенных множителей Лагранжа. Одним из условий может быть постоянство числа частиц в системе, тогда этот множитель не равен нулю. Однако это условие может отсутствовать(как ,например, для фотонов в случае черного тела), тогда естественно этот множитель должен быть равен нулю(условия нет).

Посмотрел. Во-первых, в этом методе варьирование числа частиц - не физическое, а чисто математическое действие, как и весь вариационный взгляд на уравнения как на экстремумы. Во-вторых, условие, когда число частиц задано (а не постоянно!) - обязательно для получения правильного выражения, снять его нельзя, и в параграфе про бозе-газ этого и не делается. Наличие этого условия означает ровно то, что число частиц в системе известно, независимо от того, равновесно они распределены или нет. Глядя на фотонный газ в заданный момент времени, например, мы легко можем пересчитать фотоны (я не затрагиваю термальную КТП). Вопрос ставится только о том, как эти фотоны разложены по ящичкам, в роли которых выступает функция распределения по энергии.

[druggist]

Munin в сообщении #464105 писал(а):

Глядя на фотонный газ в заданный момент времени, например, мы легко можем пересчитать фотоны (я не затрагиваю термальную КТП).

Имея функцию распределения мы можем расчитать все термодинамические величины, в том числе и число частиц. Т.е., когда химпотенциал ноль, число частиц есть интеграл функции распределения, если не ноль, то число частиц параметр, а взяв интеграл от функции распределения, получим уравнение связывающее химпотенциал, число частиц и температуру. Кстати, вы не ответили, как связан соответствующий неопр. множитель Лагранжа и химпотенциал(подсказка: в "энергетическом условии" неопределенный множитель есть $1/T$)

[Munin]

druggist в сообщении #464241 писал(а):

Имея функцию распределения мы можем расчитать все термодинамические величины, в том числе и число частиц.

Неверно. Имея функцию распределения, мы должны помножить её ещё и на число состояний. Тогда можем рассчитать число частиц. А число состояний в функцию распределения не заложено.

druggist в сообщении #464241 писал(а):

Т.е., когда химпотенциал ноль, число частиц есть интеграл функции распределения, если не ноль, то число частиц параметр, а взяв интеграл от функции распределения, получим уравнение связывающее химпотенциал, число частиц и температуру.

Никаких "когда" и "если". Число частиц есть всегда интеграл от функции распределения, помноженной на число состояний. Этот интеграл связывает химпотенциал, число частиц и температуру. Что там выбирать параметром - не принципиально, два числа всегда определяют третье. Напоминаю, "химпотенциал ноль" для случая макроскопической конденсации - это не строго математически ноль, а физический эвфемизм для "неотличимо отстоит от нуля".

druggist в сообщении #464241 писал(а):

Кстати, вы не ответили, как связан соответствующий неопр. множитель Лагранжа и химпотенциал

А я должен был отвечать??? Я посмотрел, там всё очевидно, закрыл книжку и лёг спать.

[druggist]

Munin в сообщении #464384 писал(а):

Напоминаю, "химпотенциал ноль" для случая макроскопической конденсации - это не строго математически ноль, а физический эвфемизм для "неотличимо отстоит от нуля".


druggist в сообщении #464241 писал(а):
Кстати, вы не ответили, как связан соответствующий неопр. множитель Лагранжа и химпотенциал

А я должен был отвечать??? Я посмотрел, там всё очевидно, закрыл книжку и лёг спать.

Нет конечно, не должны, это шутка. Тоже в плане шутки, не могли бы вы нарисовать качественный графичек поведения химпотенциала от температуры(призаданном числе частиц) для случаев существования бозе конденсации и ее отсутствия? По оси ординат химпотенциал, по оси абсцисс температура, почему-то в учебниках не приводят такой график, а мне кажется, было бы наглядно и полезно

P.S. нарисовать, естественно, с помощью слов)

[Munin]

(Оффтоп)

Твердотельщики что, по отпускам все разбежались?..

[Munin]

Грубо говоря, график будет начинаться в нуле, и монотонно идти строго вниз (для фермионов - строго вверх). Качественно для наличия и отсутствия конденсации это будет выглядеть одинаково. Конденсация проявляется количественно: при приближении температуры к нулю, график в некоторый момент начинает стремиться к нулевой ординате экспоненциально быстро, и очень скоро от нуля становится неотличим. Вот такую "область прилипания" конденсацией и называют. А где она начинается - вам должно быть понятно, что вопрос не более осмыслен, чем "где зануляется экспонента".

В учебниках график не рисуют, как мне кажется, в основном потому, что для него нельзя указать формулы в явном виде (только как "вот такой интеграл чему-то там равен"). Совершенно с вами согласен, изображать его было бы полезно. Как, впрочем, и многие другие вещи, которые принято описывать в основном словами и формулами (впрочем, зависит от автора).

[druggist]

Munin в сообщении #464919 писал(а):

В учебниках график не рисуют, как мне кажется, в основном потому,

Забавно, но, оказывается, все же рисуют, см.:
Ю.Б.Румер, М.Ш.Рывкин, "Термодинамика, статистическая физика и кинетика", изд-во "Наука", Москва, 1972,
Глава III, &43

[Munin]

Ага. Во втором издании (Новосибирск, 2000) гл. V § 54 с. 266 сказано подробнее и аккуратнее:

Цитата:

При температуре $T_0$ химический потенциал становится макроскопически малым ($\sim N^{-1}$), и в термодинамическом пределе должен считаться равным нулю.
...
При $T<T_0$ химический потенциал бозе-газа остается макроскопически малым — в термодинамическом пределе равным нулю, а число частиц на основном уровне становится макроскопически большим — сравнимым с $N.$

График (рис. 72 с. 270) тот же.

Видимо, рекомендуется читать по второму изданию. Первое слишком уж лаконично.

Насчёт экспоненты я слажал, приношу глубочайшие извинения.

-- 12.07.2011 01:01:43 --

А, второе издание вышло ещё в М., 1977, там вёрстка другая, так что страницы по 1977: цитата - с. 246, график - с. 249.

[druggist]

Munin в сообщении #467406 писал(а):

При температуре химический потенциал становится макроскопически малым (), и в термодинамическом пределе должен считаться равным нулю.

Не совсем так... Химпотенциал при $T$ стремящейся к $0$ будет пропорционален $T/N$, а вот соответствующий неопределенный множитель Лагранжа(который, не буду уж вас томить, равен химпотенциалу деленному на $T$) ,как раз в пределе будет 1/N. Так что, получается, что до $T_0 $ химпотенциал совсем слабо но все же растет...

[Munin]

druggist в сообщении #468296 писал(а):

Так что, получается, что до $T_0 $ химпотенциал совсем слабо но все же растет...

О чём я вам с самого начала темы и говорю.