Вопрос про бозоны

[Klad33]

График y=arctg(x) имеет замечательный перегиб в точке (0,0).

[Munin]

Разумеется, я говорил про график на положительной полуоси. Мы же не рассматриваем отрицательных температур?

[arseniiv]

(Так производная арктангенса всегда положительна. Точки перегиба даже на всей оси не будет. Путаю?)

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Так перегиб-то — это ж вроде изменение знака у второй производной? Ну, там еще существование первой производной нужно (или бесконечной с конкретным знаком).

[druggist]

Munin в сообщении #496224 писал(а):

Разумеется, я говорил про график на положительной полуоси. Мы же не рассматриваем отрицательных температур?

Munin
Вы меня продолжаете пугать, может быть стоит прочитать сначала, я же писал про асимптотики при $T\to\ 0$ , $T\to\infty$ ?

[arseniiv]

(2 Joker_vD.)

Joker_vD в сообщении #496229 писал(а):

Так перегиб-то — это ж вроде изменение знака у второй производной?

Мне казалось, что первая при этом должна быть равна нулю, если существует. Странно подумал. Действительно же, первая может быть любой величины.

[Munin]

druggist в сообщении #496235 писал(а):

Вы меня продолжаете пугать, может быть стоит прочитать сначала, я же писал про асимптотики при $T\to\ 0$ , $T\to\infty$ ?

Ну и какая у $\arctg(x)$ асимптотика при $x\to 0?$

[druggist]

Мы имеем дело не с арктангенсом, а с функцией $n_0(T)=\frac {1} {exp(-\frac {\mu(T)} {T})-1}$, где $\mu(T)$ - химпотенциал. При малых $T$ эта функция выходя из т. $n_0(0)=N$, будет спадать быстрее, чем линейная с ростом $T$, а при больших $T$ будет стремиться к пределу $N/3$ , что неизбежно дает точку перегиба при некотором конечном $T$

[Munin]

Вот теперь вы выразились внятнее. Я этого и добивался.

[druggist]

В принципе честно получить интересующую зависимость $n_0(T)$ несложно:

$n_0+\frac {1} {e^\frac {\epsilon_1-\mu} {T} -1}+ \frac {1} {e^\frac {\epsilon_2-\mu} {T} -1}=N $

$n_0=\frac {1} {e^\frac {-\mu} {T} -1}$

Надо выразить из этой системы $\mu$ через $n_0$, и решить что-то вроде квадратного уравнения. Немного погодя приведу график $n_0(T)$ при различных $ \epsilon_1$ и $ \epsilon_2$. Надо в тегах потренироваться

[druggist]

Добавление по поводу зависимости $ n_0(T)$.
Оказывается, для того, чтобы "потрогать руками" Бозе-конденсацию, достаточно не трехуровневой системы(в которой невозможно перейти к термодинамическому пределу), а в некотором роде... двухуровневой. Для этого рассмотрим систему, аналогичную той, что приведена в праграфе 44 замечательного учебника:
Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш.
"Термодинамика, статистическая физика и кинетика: Учебное
пособие" 2-е изд., испр. и доп. — Новосибирск: Изд-во Новосиб.
ун-та, 2000. — 608 с.


Только вместо невзаимодействующих "больцманонов" рассмотрим бозоны. Пусть кратность вырождения основного уровня $g_0=1$, а кратность вырождения возбужденного уровня $g_1$ достаточно большая, в пределе бесконечно большая, наряду с общим числом частиц $N$, но так, чтобы плотность(отношение числа частиц $N$ к общему кол-ву состояний $G=g_1+1$) ,было постоянным и выполнялось условие термодинамического предела.
Тогда для $n_0=N_0/N$ - относительной доли частиц на основном уровне будем иметь выражение,аналогичное (44.2), но в отличие от(44.2) содержащее иррациональность (квадратный корень) и получающееся несложным образом из квадратного уравнения. Само выражение здесь не приводится, а строится график для больших $N$ и $G$. Для сравнения тут же построен график для "больцманонов". Интересно то, что при увеличении $N$ и $G$, так, что $N/G=\operatorname{const}$ (термодинамический предел!) больцмановская кривая при малых $T$ все более приближается и практически совпадает с осью y, а для бозонов наклон не меняется и образуется все более четко локализованное "место пересечения" с осью x- точкой Бозе- конденсации... Имхо неплохая задачка для ДЗ по "статам" для студентов соответствующего семестра.

[Munin]

Хорошо бы эту точку пересечения ещё в лупу рассмотреть.

[druggist]

Возможно, надо было на одном рисунке построить графики для разных $N$ и $G$ (так, что $N/G$ =const). Тогда было бы более наглядно видно, как гладкая кривая все больше приближается к "тупому углу" с вершиной в точке конденсации. Само значение $T$ в точке, кстати, легко вычисляется(аппроксимируется)

[druggist]

Munin в сообщении #643728 писал(а):

ещё в лупу рассмотреть.

Очень возможно, что при изменении масштаба кривая вблизи точки будет подобна сама себе(масштабно инвариантна), но ведь это обычно для фп. Хотя сам не проверял.