Ковариация между X и sign(X)

[Naatikin]

С.в. $\xi$ такова, что $P\{{\xi}>0\}=a$, $P\{{\xi}<0\}=b$, $M\xi=a, D\xi=b$.Найти $cov(\xi,sign\xi)$.
не знаю с чего начать, т.к. не понимаю ковариацию. м.б. поясните?

[chessar]

Ковариация двух случайных величин $X,Y$ есть (по определению) число $\mathrm{cov}(X,Y)=M((X-MX)(Y-MY))= M(XY)-MX\cdot MY$ (последнее равенство не по определению). Также можно показать, что $\mathrm{cov}(X,X)=DX$, $\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{cov}(Y,X)$, $\mathrm{cov}(cX,Y)=c\cdot\mathrm{cov}(X,Y)$ и
$D(X_1+\ldots+X_n)=\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\mathrm{cov}(X_i,X_j)$.
Думаю с этим вы сможете найти решение, только непонятно, что у вас подразумевается под записью $sign\xi$?

[Naatikin]

вроде $sign\xi$ это $-\xi$

[Gortaur]

Вроде

$$ \mathop{\textrm{sign}} \xi = \begin{cases} 1,&\xi>0; \\ 0,&\xi = 0; \\ -1,&\xi <0\end{cases} $$

но Вы, конечно, как пожелаете.

PAV:

Поправил формулу

[Naatikin]

не понял, что Вы написали

-- 23.06.2011, 23:21 --

мне нужно рассматривать $cov(\xi, 1), cov(\xi,0), cov(\xi,-1)$?

[Gortaur]

(Оффтоп)

PAV,
а что там было?

[PAV]

(Оффтоп)

sign не было напечатано

-- Пт июн 24, 2011 11:36:40 --

chessar в сообщении #461614 писал(а):

$\mathrm{cov}(X,Y)=M(XY)-MX\cdot MY$

Мне кажется, что эта формула самая подходящая. Напишите, что нам известно про каждое из выражений в правой части. Два из них находятся сразу, однако как найти третье - я сходу не вижу. Любопытная задачка.

[Naatikin]

Я решил рассмотреть 3 случая, но решение какое-то кривое

$sign \xi=1, \xi>0$

$cov(\xi, sign \xi)=M(\xi\cdot sign\xi)-M\xi\cdot M(sign\xi)=M\xi-M\xi=0$

$sign \xi=0, \xi=0$

$cov(\xi, sign \xi)=M(\xi\cdot sign\xi)-M\xi\cdot M(sign\xi)=M0-0=0 $

$sign \xi=-1, \xi<0$

$cov(\xi, sign \xi)=M(\xi\cdot sign\xi)-M\xi\cdot M(sign\xi)=-M\xi+M\xi=0 $

[PAV]

Нет, это не решение. Нельзя считать математическое ожидание, разбивая случайную величину на различные случаи

-- Сб июн 25, 2011 15:41:56 --

Нам известны $M\xi$ и $M(\mathrm{sign}\xi)$. Осталось найти $M(\xi\cdot\mathrm{sign}\xi)$. Это то же самое, что $M|\xi|$. Сходу приходит в голову применить стандартное представление случайной величны в виде разности положительной и отрицательной части:

$$ \xi=\xi^{+}-\xi^{-}, $$

где $\xi^{+}=\max\{\xi;0\}\ge 0$ и $\xi^{-}=\max\{-\xi;0\}\ge 0$.

Нам известно $M\xi=M\xi^{+}-M\xi^{-}$, а найти нужно $M|\xi|=M\xi^{+}+M\xi^{-}$. Я сходу не вижу, как это сделать. Но видно, что мы не использовали знание дисперсии. Из дисперсии мы можем найти второй момент $M\xi^2=M(\xi^{+})^2+M(\xi^{-})^2$, но я не вижу, что отсуда можно получить.

Настораживает, что математическое ожидание и дисперсия $\xi$ не произвольны, а равны тем же самым $a$ и $b$. Это возможно неспроста. Возможно, что в общем виде задача и не решилась бы, а для этих чисел она решается каким-нибудь приемом. Но я его не вижу.

[Naatikin]

правильно я понимаю, что $M( sign \xi)= a\cdot1+b\cdot (-1)?$

[ИСН]

Ну да. А толку-то.

-- Сб, 2011-06-25, 23:49 --

Короче, не бывает таких задач. Она или неправильная сразу, или неправильно переписана.

[Gortaur]

ИСН
Контрпример смогли придумать с одинаковыми параметрами, но разными ковариациями?

[ИСН]

Ох. Вот же дотошные люди. А то, что исследовательская задача нестандартного типа не может попасться среди учебных - это Вам не аргумент? Нет? Ну тогда считайте, что есть контрпример.

[PAV]

Я думаю, что контрпример составить можно, просто возиться лень. Если предположить, что $\xi$ принимает единственное положительное значение $x>0$ и единственное отрицательное $y<0$, то эти значения ищутся из математического ожидания и дисперсии:

$$ \left\{\begin{array}{l}ax+by=a\\ ax^2+by^2=b+a^2\end{array}\right. $$

Я думаю, что решение найдется. А если допустить большее количество значений, то появятся дополнительные степени свободы, и скорее всего получится добиться различных значений $M|\xi|$.

[Naatikin]

если раскладывать матожидание через интеграл на бесконечности может что-нибудь получится? я просто не знаю откуда плотность взять