"Полиномиальные" коэффициэнты

[geburt]

Рассмотрим полином: $(1+x+x^2+\ldots+x^m)^n$. Задача такова:
1) для заданного $k:~1 \leq k \leq mn$ найти коэффициэнт, стоящий при $x^k$;
2) в разложении $(1+x+x^2+\ldots+x^m)^n = \sum_{i=0}^{mn} {\alpha_i x^i}$ найти максимальный коэффициэнт $\alpha_i$. Если получится решить первый пункт, то для решения второго надо только найти такое $i$, что коэффициэнт при $x^i$ максимален.

[VAL]

geburt в сообщении #450855 писал(а):

Рассмотрим полином: $(1+x+x^2+\ldots+x^m)^n$. Задача такова:
1) для заданного $k:~1 \leq k \leq mn$ найти коэффициэнт, стоящий при $x^k$;
2) в разложении $(1+x+x^2+\ldots+x^m)^n = \sum_{i=0}^{mn} {\alpha_i x^i}$ найти максимальный коэффициэнт $\alpha_i$. Если получится решить первый пункт, то для решения второго надо только найти такое $i$, что коэффициэнт при $x^i$ максимален.

Что касается дополнительного вопроса, представляется очевидным, что подходящее $i$ будет равно $\frac{mn}2$ (ну или наиболее близко к этому значению при нечетном $mn$).
По поводу ответа на второй вопрос посмотрите A018901, A025012 и т.п. в OEIS.
Бросается в глаза, что для $m=6$ приводится общая формула (правда, гипотетическая), а для $m=5$ - нет даже гипотетической формулы.
Все это наводит на мысль, что в общем случае замкнутой формулы не имеется

[Sonic86]

Между прочим, примерно на эту тему уже 2 задачи были в "Помогите решить" - в одном месте там этот многочлен интегрировали, а во втором - оценивали коэффициент сверху. Могу найти, если хотите, они еще не сильно древние.

[geburt]

Спасибо за столь быстрые ответы!
@VAL: Да, коэффициэнт при $x^{\frac{mn}{2}}$ кажется самым логичным ответом, к тому же на это наводят оценки для нахождения максимального мультиномиального коэффициэнта.

@Sonic86: буду очень признателен, если найдете, потому что у меня, к сожалению, не получается.

[Sonic86]

topic45236.html
topic45193.html

[geburt]

@Sonic86: Спасибо.

[maxal]

geburt в сообщении #450855 писал(а):

Рассмотрим полином: $(1+x+x^2+\ldots+x^m)^n$. Задача такова:
1) для заданного $k:~1 \leq k \leq mn$ найти коэффициэнт, стоящий при $x^k$;

Перепишите в виде $(1-x^{m+1})^n\cdot (1-x)^{-n}$ и разложите каждый сомножитель по биному Ньютона...