Нецикличность мультипликативной группы бесконечного поля

[Joker_vD]

Что-то вы оба мудрите.

$$k^* \text{ — циклическая} \Longrightarrow \exists a \in k^*\colon -1 = a^n, n \ne 0 \Longrightarrow 1 = a^{2n}, n \ne 0 \Longrightarrow |k^*| \leqslant 2n.$$

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #445415 писал(а):

Что-то вы оба мудрите.

$$k^* \text{ — циклическая} \Longrightarrow \exists a \in k^*\colon -1 = a^n, n \ne 0 \Longrightarrow 1 = a^{2n}, n \ne 0 \Longrightarrow |k^*| \leqslant 2n.$$

А почему $n \neq 0$? В поле характеристики $2$ имеем $-1=1$.

[Ho-DH]

VAL, а не могли бы Вы пояснить, почему именно алгебраичность элемента a над полем $Z_2$ влечет его конечный порядок? Или где можно найти соответствующее обоснование? (извиняюсь за глупость)

[VAL]

Ho-DH в сообщении #445565 писал(а):

VAL, а не могли бы Вы пояснить, почему именно алгебраичность элемента a над полем $Z_2$ влечет его конечный порядок?

Рассмотрим $\mathbb Z_2(a)$, то есть подполе нашего поля, порожденное элементом $a$ (если $a$ - порождающий элемент мультипликативной группы поля, то оно, на самом деле будет совпадать со всем полем). $\mathbb Z_2(a)$, как всякое простое алгебраическое расширение, будет конечным. (Степень этого расширения может равняться $k$, а может быть и меньше. Это зависит от того, будет ли полином $x^k+x+1$ неприводим над $\mathbb Z_2$. При разных k может быть и так, и эдак. Но это не важно).
Важно, что конечное расширение конечного поля, конечно же, будет иметь конечное число элементов :) Следовательно $a$ (как и все остальные ненулевые элементы поля $\mathbb Z_2(a)$) будет иметь конечный порядок в мультипликативной группе поля.

[Joker_vD]

Нда, действительно, $\mathbb Z_2[x]/(1+a+a^k)$, и нет проблем.

[VAL]

Joker_vD в сообщении #445615 писал(а):

Нда, действительно, $\mathbb Z_2[x]/(1+a+a^k)$, и нет проблем.

Угу. Только все же $\mathbb Z_2[x]/(1+x+x^k)$

[Ho-DH]

VAL, большое спасибо за помощь! Теперь все стало ясно. Всем спасибо за внимание и мысли по этому поводу.