VAL, а не могли бы Вы пояснить, почему именно алгебраичность элемента a над полем
![$Z_2$ $Z_2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/d/3bd2daf9fde28292bb266114486cf61982.png)
влечет его конечный порядок?
Рассмотрим
![$\mathbb Z_2(a)$ $\mathbb Z_2(a)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/6/5e62d0f5931b7c1120060f27ee9e4f5782.png)
, то есть подполе нашего поля, порожденное элементом
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
(если
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
- порождающий элемент мультипликативной группы поля, то оно, на самом деле будет совпадать со всем полем).
![$\mathbb Z_2(a)$ $\mathbb Z_2(a)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/6/5e62d0f5931b7c1120060f27ee9e4f5782.png)
, как всякое простое алгебраическое расширение, будет конечным. (Степень этого расширения может равняться
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, а может быть и меньше. Это зависит от того, будет ли полином
![$x^k+x+1$ $x^k+x+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/8/2e8d96e5abc3e93fbed03b77a0803ef582.png)
неприводим над
![$\mathbb Z_2$ $\mathbb Z_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/7/247e863f3bc60078b19417e0a785907b82.png)
. При разных k может быть и так, и эдак. Но это не важно).
Важно, что конечное расширение конечного поля, конечно же, будет иметь конечное число элементов :) Следовательно
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
(как и все остальные ненулевые элементы поля
![$\mathbb Z_2(a)$ $\mathbb Z_2(a)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/6/5e62d0f5931b7c1120060f27ee9e4f5782.png)
) будет иметь конечный порядок в мультипликативной группе поля.