2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение04.05.2011, 22:02 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
nnosipov в сообщении #441803 писал(а):
VAL в сообщении #441757 писал(а):
nnosipov в сообщении #441710 писал(а):
Максимальное подполе, не содержащее $\sqrt 2$ --- что за зверь такой?
Подполя $\overline{\mathbb Q}$, не содержащие $\sqrt 2$, образуют частично упорядоченное множество по включению, в котором по лемме Цорна такой зверь, вроде, обязан водиться.

Надо полагать, таких максимальных подполей много. Или оно однозначно определено?
Полагаю, это как считать. В принципе, можно считать, что алгебраических замыканий поля ${\mathbb Q}$ много. Но они все изоморфны. Мне представляется, что в пределах фиксированного алгебраического замыкания поля ${\mathbb Q}$ одсуждаемое поле будет одно.

 Профиль  
                  
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение05.05.2011, 18:19 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
VAL в сообщении #442060 писал(а):
Полагаю, это как считать. В принципе, можно считать, что алгебраических замыканий поля ${\mathbb Q}$ много. Но они все изоморфны. Мне представляется, что в пределах фиксированного алгебраического замыкания поля ${\mathbb Q}$ одсуждаемое поле будет одно.

Давайте считать, что алгебраическое замыкание поля рациональных чисел --- это поле $\mathbb{A}$ всех алгебраических (над $\mathbb{Q}$) чисел. Не могли бы Вы как-то описать этого монстра (т.е. максимальное подполе $\mathbb{A}$, не содержащее $\sqrt{2}$)? Что в нём содержится, чего в нём нет, помимо $\sqrt{2}$? (И, пардон за глупый вопрос, почему в нём нет $\sqrt{2}$?)

 Профиль  
                  
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение05.05.2011, 19:14 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
nnosipov в сообщении #442330 писал(а):
Не могли бы Вы как-то описать этого монстра (т.е. максимальное подполе $\mathbb A$, не содержащее $\sqrt2$)?

Для этого VAL придется извернуться и обойтись без леммы Цорна.

nnosipov в сообщении #442330 писал(а):
И, пардон за глупый вопрос, почему в нём нет $\sqrt2$?

Почему? По построению.

 Профиль  
                  
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение05.05.2011, 19:35 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
nnosipov в сообщении #442330 писал(а):
Давайте считать, что алгебраическое замыкание поля рациональных чисел --- это поле $\mathbb{A}$ всех алгебраических (над $\mathbb{Q}$) чисел. Не могли бы Вы как-то описать этого монстра (т.е. максимальное подполе $\mathbb{A}$, не содержащее $\sqrt{2}$)? Что в нём содержится, чего в нём нет, помимо $\sqrt{2}$?
Ну, например, $^3\sqrt 2$ есть, а $\sqrt 6$ и $^4\sqrt 2$ нет...
Ну и так далее :)
Цитата:
(И, пардон за глупый вопрос, почему в нём нет $\sqrt{2}$?)
Вы сомневаетесь в наличии алгебраических расширений $\mathbb Q$, не содержащих $\sqrt 2$?! Надеюсь, нет. А дальше лемма Цорна.

 Профиль  
                  
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение05.05.2011, 20:12 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Господа, не сочтите за труд и объясните подробно, как строится этот монстр. Лучше бы без леммы Цорна, если это возможно. Разумеется, я понимаю, что хватает алгебраических расширений $\mathbb{Q}$, не содержащих $\sqrt{2}$. Например, $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$. Но, как пишет VAL, $\sqrt{6}$ не входит в монстра. Почему? (Слава богу, с леммой Цорна я сталкивался только в годы учёбы: базис Гамеля, теорема Хана-Банаха --- это весь набор знакомых мне фактов, где она применяется.)

 Профиль  
                  
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение05.05.2011, 20:40 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
nnosipov в сообщении #442390 писал(а):
объясните подробно, как строится этот монстр.

Честно говоря, я сомневаюсь, что есть явная конструкция. В принципе, можно попробовать видоизменить артиновскую конструкцию алгебраического замыкания поля, но не знаю...

nnosipov в сообщении #442390 писал(а):
Но, как пишет VAL, $\sqrt6$ не входит в монстра. Почему?

Ну, в этого монстра входит $\sqrt3$. А имея в поле $\sqrt6$ и $\sqrt3$, легко можно получить $\sqrt2$ — а его мы получать никак не должны.

nnosipov в сообщении #442390 писал(а):
базис Гамеля, теорема Хана-Банаха --- это весь набор знакомых мне фактов, где она применяется.

А еще лемму Цорна использует, например, факт "всякий собственный идеал содержится в некотором максимальном".

 Профиль  
                  
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение05.05.2011, 20:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
А чем это $\sqrt{3}$ лучше $\sqrt{6}$ (т.е. первый есть в монстре, а второго нет)?

 Профиль  
                  
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение05.05.2011, 22:00 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
nnosipov в сообщении #442400 писал(а):
А чем это $\sqrt{3}$ лучше $\sqrt{6}$ (т.е. первый есть в монстре, а второго нет)?

Пусть в расширении $K$ нет $\sqrt 3$$\sqrt 6$). Тогда оно не максимально, поскольку строго содержится в $K(\sqrt 3)$, по-прежнему, не содержащем $\sqrt 2$.
С другой стороны, если пока нет ни $\sqrt 3$, ни $\sqrt 6$, можно добавить $\sqrt 6$, не добавляя $\sqrt 3$.
Так что, возможно, Вы правы в том, что максимальное расширение, не содержащее $\sqrt 2$, не единственно.
Хотя... второй вариант мне как-то меньше нравится. Тогда из $\sqrt 5$ и $\sqrt{15}$, хотя бы один элемент должен отсутствовать. И пошло, поехало...

 Профиль  
                  
 
 Re: теория Галуа и теория чисел
Сообщение05.05.2011, 22:05 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
VAL в сообщении #442440 писал(а):
nnosipov в сообщении #442400 писал(а):
А чем это $\sqrt{3}$ лучше $\sqrt{6}$ (т.е. первый есть в монстре, а второго нет)?

Пусть в расширении $K$ нет $\sqrt 3$$\sqrt 6$). Тогда оно не максимально, поскольку строго содержится в $K(\sqrt 3)$, по-прежнему, не содержащем $\sqrt 2$.
С другой стороны, если пока нет ни $\sqrt 3$, ни $\sqrt 6$, можно добавить $\sqrt 6$, не добавляя $\sqrt 3$.
Так что, возможно, Вы правы в том, что максимальное расширение, не содержащее $\sqrt 2$, не единственно.
Хотя... второй вариант мне как-то меньше нравится. Тогда из $\sqrt 5$ и $\sqrt{15}$, хотя бы один элемент должен отсутствовать. И пошло, поехало...

И восстали монстры ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group