Когда сумма цифр не меняется

[Xenia1996]

Сколько существует натуральных чисел, сумма цифр которых не меняется при умножении на любое натуральное число от 1 до 2011?

[worm2]

(А можно я просто угадаю?)

$\infty$ ?

[Xenia1996]

worm2 в сообщении #437757 писал(а):

(А можно я просто угадаю?)

$\infty$ ?

Очевидно, что если существует одно такое число, то их должно быть бесконечно много. Скажем, мы нашли число $n$, удовлетворяющее условию. Тогда и $10n, 100n, \dots 10^kn$ также удовлетворяют условию при всех натуральных $k$.

Итак, задача свелась к нахождению одного такого числа.

[Tlalok]

Xenia1996

Xenia1996 в сообщении #437742 писал(а):

при умножении на любое натуральное число от 1 до 2011

Любое в смысле каждое или любое в смысле все равно какое?

[Xenia1996]

Tlalok в сообщении #437761 писал(а):

Xenia1996

Xenia1996 в сообщении #437742 писал(а):

при умножении на любое натуральное число от 1 до 2011

Любое в смысле каждое или любое в смысле все равно какое?

А в чём разница?

[worm2]

(А можно я ещё раз погадаю? )

9999?

[Tlalok]

Xenia1996

Разница в том, что если любое в смысле все равно какое, то мне очень нравится число 1. Так как любое число при умножении на 1 не меняется. И следовательно сумма цифр не изменится.
Мне кажется именно это имел ввиду worm2 когда писал о бесконечности.

[worm2]

Tlalok писал(а):

Мне кажется именно это имел ввиду worm2 когда писал о бесконечности.

Не-а, я тогда просто угадал ответ, зная, как Xenia1996 умеет готовить (и самое главное — подавать) изначально простые задачи

[Xenia1996]

Tlalok в сообщении #437771 писал(а):

Xenia1996

Разница в том, что если любое в смысле все равно какое, то мне очень нравится число 1. Так как любое число при умножении на 1 не меняется. И следовательно сумма цифр не изменится.
Мне кажется именно это имел ввиду worm2 когда писал о бесконечности.

А Вы уверены, что поняли условие задачи?

-- Пт апр 22, 2011 17:39:44 --

worm2 в сообщении #437767 писал(а):

(А можно я ещё раз погадаю? )

9999?

А доказуемо ли, что $S(9999n)=36$ при любом натуральном $n<10001$?

[Tlalok]

Нет, я в этом абсолютно не уверен.
Объясните, что Вы имели ввиду?
Я просто придираюсь к формулировке задачи.
Возможно я не прав, но формулировка не должна допускать альтернативного толкования.

[Xenia1996]

Tlalok в сообщении #437778 писал(а):

Нет, я в этом абсолютно не уверен.
Объясните, что Вы имели ввиду?

Сколько суцествует натуральных чисел $n$ таких, что $S(n)=S(kn)$ при целом $1\le k\le 2011$?

Так понятнее?

[Tlalok]

Ну вот я и написал.
Я хочу чтобы $k=1$.
Тогда $S(n)=S(kn)$ для любого натурального $n$.
А вот если речь идет о все натуральных $k \in \left[ {1;2011} \right]$. Тогда я ничего не могу сказать.

[worm2]

Xenia1996 в сообщении #437776 писал(а):

А доказуемо ли, что $S(9999n)=36$ при любом натуральном $n<10001$?

Конечно. После того, как догадаешься до ответа, проверить уже элементарно. Нужно представить $9999n$ как $10000n-n$ и выполнить вычитание столбиком.

[MrDindows]

Xenia1996 в сообщении #437776 писал(а):

А доказуемо ли, что $S(9999n)=36$ при любом натуральном $n<10001$?

По-моему да.
Если $n$ делится на $10$, то $S(9999n)=S(999.9n)$, иначе
$S(9999n)=S(10000n-n)=S(10000(n-1))+S(10000-n)=S(n)+s(10000-n)-1=S(9999)=36$

[Xenia1996]

MrDindows в сообщении #437791 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #437776 писал(а):

А доказуемо ли, что $S(9999n)=36$ при любом натуральном $n<10001$?

По-моему да.
Если $n$ делится на $10$, то $S(9999n)=S(999.9n)$, иначе
$S(9999n)=S(10000n-n)=S(10000(n-1))-1+S(10000-n)=S(10000n)+s(10000-n)-1=9999$

Вы хотели сказать "36", а не "9999"?