2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 16:02 
Сколько существует натуральных чисел, сумма цифр которых не меняется при умножении на любое натуральное число от 1 до 2011?

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 16:54 
Аватара пользователя

(А можно я просто угадаю?)

$\infty$ ? ;-)

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 16:58 
worm2 в сообщении #437757 писал(а):

(А можно я просто угадаю?)

$\infty$ ? ;-)

Очевидно, что если существует одно такое число, то их должно быть бесконечно много. Скажем, мы нашли число $n$, удовлетворяющее условию. Тогда и $10n, 100n, \dots 10^kn$ также удовлетворяют условию при всех натуральных $k$.

Итак, задача свелась к нахождению одного такого числа.

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:09 
Аватара пользователя
Xenia1996
Xenia1996 в сообщении #437742 писал(а):
при умножении на любое натуральное число от 1 до 2011

Любое в смысле каждое или любое в смысле все равно какое?

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:12 
Tlalok в сообщении #437761 писал(а):
Xenia1996
Xenia1996 в сообщении #437742 писал(а):
при умножении на любое натуральное число от 1 до 2011

Любое в смысле каждое или любое в смысле все равно какое?

А в чём разница?

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:21 
Аватара пользователя

(А можно я ещё раз погадаю? :-))

9999?

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:29 
Аватара пользователя
Xenia1996

Разница в том, что если любое в смысле все равно какое, то мне очень нравится число 1. Так как любое число при умножении на 1 не меняется. И следовательно сумма цифр не изменится.
Мне кажется именно это имел ввиду worm2 когда писал о бесконечности.

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:33 
Аватара пользователя
Tlalok писал(а):
Мне кажется именно это имел ввиду worm2 когда писал о бесконечности.
Не-а, я тогда просто угадал ответ, зная, как Xenia1996 умеет готовить (и самое главное — подавать) изначально простые задачи :D

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:37 
Tlalok в сообщении #437771 писал(а):
Xenia1996

Разница в том, что если любое в смысле все равно какое, то мне очень нравится число 1. Так как любое число при умножении на 1 не меняется. И следовательно сумма цифр не изменится.
Мне кажется именно это имел ввиду worm2 когда писал о бесконечности.

А Вы уверены, что поняли условие задачи?

-- Пт апр 22, 2011 17:39:44 --

worm2 в сообщении #437767 писал(а):

(А можно я ещё раз погадаю? :-))

9999?

А доказуемо ли, что $S(9999n)=36$ при любом натуральном $n<10001$?

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:40 
Аватара пользователя
Нет, я в этом абсолютно не уверен.
Объясните, что Вы имели ввиду?
Я просто придираюсь к формулировке задачи.
Возможно я не прав, но формулировка не должна допускать альтернативного толкования.

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:44 
Tlalok в сообщении #437778 писал(а):
Нет, я в этом абсолютно не уверен.
Объясните, что Вы имели ввиду?

Сколько суцествует натуральных чисел $n$ таких, что $S(n)=S(kn)$ при целом $1\le k\le 2011$?

Так понятнее?

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:48 
Аватара пользователя
Ну вот я и написал.
Я хочу чтобы $k=1$.
Тогда $S(n)=S(kn)$ для любого натурального $n$.
А вот если речь идет о все натуральных $k \in \left[ {1;2011} \right]$. Тогда я ничего не могу сказать.

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 17:57 
Аватара пользователя
Xenia1996 в сообщении #437776 писал(а):
А доказуемо ли, что $S(9999n)=36$ при любом натуральном $n<10001$?
Конечно. После того, как догадаешься до ответа, проверить уже элементарно. Нужно представить $9999n$ как $10000n-n$ и выполнить вычитание столбиком.

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 18:05 
Xenia1996 в сообщении #437776 писал(а):
А доказуемо ли, что $S(9999n)=36$ при любом натуральном $n<10001$?

По-моему да.
Если $n$ делится на $10$, то $S(9999n)=S(999.9n)$, иначе
$S(9999n)=S(10000n-n)=S(10000(n-1))+S(10000-n)=S(n)+s(10000-n)-1=S(9999)=36$

 
 
 
 Re: Когда сумма цифр не меняется
Сообщение22.04.2011, 18:30 
MrDindows в сообщении #437791 писал(а):
Xenia1996 в сообщении #437776 писал(а):
А доказуемо ли, что $S(9999n)=36$ при любом натуральном $n<10001$?

По-моему да.
Если $n$ делится на $10$, то $S(9999n)=S(999.9n)$, иначе
$S(9999n)=S(10000n-n)=S(10000(n-1))-1+S(10000-n)=S(10000n)+s(10000-n)-1=9999$

Вы хотели сказать "36", а не "9999"?

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group