15 натуральных чисел, каждое из которых меньше 1998...

[Xenia1996]

На бразильской математической олимпиаде 1998-го года предлагалась следующая задача:

Цитата:

15 натуральных чисел, каждое из которых меньше 1998, являются попарно взаимно простыми. Докажите, что хотя бы одно из этих чисел - простое.

Если задача корректна, то одно из чисел 1, 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961, 1369, 1681, 1849 является простым. Но число 1 по определению не простое, а остальные являются квадратами простых чисел.
Как быть?

[Someone]

Некоторые включают единицу в множество простых чисел.

[Xenia1996]

Someone в сообщении #433453 писал(а):

Некоторые включают единицу в множество простых чисел.

Вот и я подумала, что в далёкой Бразилии единичка является простым числом.

(Не читать! Это - бред!)

Там же южное полушарие, стало быть, кориолисова сила в противоположном направлении действует

[Someone]

В математике далеко не все определения стандартизованы. Даже определение натурального числа: одни считают ноль натуральным числом, другие не считают.

[Xenia1996]

Someone в сообщении #433453 писал(а):

Некоторые включают единицу в множество простых чисел.

Тогда сделаем так.

У всех 15 чисел должны быть попарно различные наименьшие простые делители, в противном случае какие-то два числа не будут взаимно простыми. Но тогда самый большой из наименьших простых делителей будет не меньше 47 (15-ое простое число), а само число не меньше $47^2=2209>1998$. Противоречие.

[alex1910]

Someone в сообщении #433453 писал(а):

Некоторые включают единицу в множество простых чисел.

Единица - обратимый элемент кольца целых чисел, а не простое число.
И кто его называет простым (если называет) - просто неграмотен.

С включением нуля в натуральные числа - другое дело. Тут вопрос скорее филологический, чем математический. Например, французы считают ноль натуральным.

[Someone]

alex1910 в сообщении #433470 писал(а):

Единица - обратимый элемент кольца целых чисел, а не простое число.
И кто его называет простым (если называет) - просто неграмотен.

Ну, тогда, значит, Анри Лебег неграмотен.
Я согласен, что более удобно не считать единицу простым числом, поскольку это избавляет от необходимости в очень многих случаях оговаривать: "простое число, большее единицы", и современное определение именно такое, но исторически более раннее определение включало единицу в множество простых чисел. Это не ошибка и не неграмотность, а просто вполне допустимое альтернативное определение.

[Sonic86]

Про то, 1 простое число или нет, уже было. Первый аргумент - это обратимость единицы (особенно явно это вылазит в $\mathbb{Z}[\zeta], \zeta ^n=1$, там же явно нужно определять ассоциированные элементы), второй аргумент - если 1 - простое число, то нарушается основная теорема арифметики (ну примерно то же самое, но более явно). Так что это вряд ли альтернативное определение.

[Someone]

Sonic86 в сообщении #433509 писал(а):

Так что это вряд ли альтернативное определение.

Тем не менее, это альтернативное определение. И математики пользовались им на протяжении столетий. Я вообще не понимаю, в чём проблема со всякими неоднозначностями и обратимостями. Ну, оговорите в формулировке теоремы, что речь идёт о простых числах, бóльших единицы. Неудобно, конечно, и когда таких оговорок стало уж слишком много, кому-то (скорее всего, многим) пришла в голову здравая идея немного откорректировать определение.

[Sonic86]

Someone писал(а):

Тем не менее, это альтернативное определение. И математики пользовались им на протяжении столетий. Я вообще не понимаю, в чём проблема со всякими неоднозначностями и обратимостями. Ну, оговорите в формулировке теоремы, что речь идёт о простых числах, бóльших единицы. Неудобно, конечно, и когда таких оговорок стало уж слишком много, кому-то (скорее всего, многим) пришла в голову здравая идея немного откорректировать определение.

Ну только если так...
Я в книжках, кстати, ни разу не видел определения, где 1 - простое число.

[VAL]

Someone в сообщении #433519 писал(а):

Sonic86 в сообщении #433509 писал(а):

Так что это вряд ли альтернативное определение.

Тем не менее, это альтернативное определение. И математики пользовались им на протяжении столетий.

Это не аргумент. На протяжении столетий не признавали: иррациональных чисел, нуля, отрицательных чисел, комплексных чисел...

Цитата:

Я вообще не понимаю, в чём проблема со всякими неоднозначностями и обратимостями. Ну, оговорите в формулировке теоремы, что речь идёт о простых числах, бóльших единицы.

С тем же успехом можно считать простым числом, например, шесть. А при формулировке конкретных утверждений всякий раз оговаривать шесть, как особый случай.

Цитата:

Неудобно, конечно, и когда таких оговорок стало уж слишком много, кому-то (скорее всего, многим) пришла в голову здравая идея немного откорректировать определение.

Все правильно, кроме слова "немного". Различие между простыми и единицей принципиально. Вот если считать или не считать простыми числа, противоположные простым, тогда будет "немного".
Насчет Лебега изрядно удивлен. Но все же между 1998-м и 1899-м годами есть некоторая транспозиция

PS: Впрочем, если вопрос вынести на всенародный референдум, единицу, конечно, признают простым. В отличие от двойки, например, или числа 37

[Someone]

Sonic86 в сообщении #433520 писал(а):

Я в книжках, кстати, ни разу не видел определения, где 1 - простое число.

Считаем, что натуральный ряд начинается с $1$.

Старое определение ($1$ - простое число): натуральное число называется простым, если его нельзя представить в виде произведения двух натуральных чисел, бóльших $1$.
Современное определение ($1$ - не простое число): натуральное число называется простым, если оно имеет в точности два различных натуральных делителя.
Определение составного числа не изменилось: натуральное число называется составным, если его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, бóльших $1$.

При старом определении натуральные числа делились на две группы: простые и составные.
При современном определении натуральные числа делятся на три группы: простые, составные и $1$.
Ничего страшного, конечно, древние греки единицу вообще числом не считали.

VAL в сообщении #433535 писал(а):

Это не аргумент. На протяжении столетий не признавали: иррациональных чисел, нуля, отрицательных чисел, комплексных чисел...

Аргумент? Я всего лишь хотел сказать, что в прошлом определение простого числа было другим, причём, не эквивалентным современному. И что никому от этого плохо не было.

VAL в сообщении #433535 писал(а):

С тем же успехом можно считать простым числом, например, шесть. А при формулировке конкретных утверждений всякий раз оговаривать шесть, как особый случай.

Да ради Бога, если Вам зачем-то нужно множество, включающее все простые числа и число $6$, то флаг Вам в руки. Только предупредите меня об этом, и я возражать не буду.

VAL в сообщении #433535 писал(а):

Все правильно, кроме слова "немного". Различие между простыми и единицей принципиально. Вот если считать или не считать простыми числа, противоположные простым, тогда будет "немного".

Э-э-э... Вы меня в чём, собственно говоря, хотите убедить? Что современное определение простого числа во многих отношениях лучше? Не надо, я и сам предпочитаю современное определение.
Если же Вы меня хотите убедить, что бывают определения правильные и неправильные, то не получится. Меня в своё время на мехмате учили прямо противоположному: определения не бывают правильными или неправильными (однако бывают корректными и некорректными, но это совсем другое), и спорить об этом совершенно бессмысленно. А если преподаватель на экзамене говорит студенту, что тот, дескать, сформулировал неправильное определение, то имеется в виду всего лишь, что сформулированное студентом определение не совпадает с тем, которое имел в виду преподаватель.

[Sonic86]

Someone писал(а):

Старое определение ($1$ - простое число): натуральное число называется простым, если его нельзя представить в виде произведения двух натуральных чисел, бóльших $1$.

Ну вот я про это и говорю, что я не видел такого определения в книжках (хотя я не утверждаю, что много книг на эту тему читал)
Мне в принципе все понятно стало, после замечания

Someone писал(а):

Тем не менее, это альтернативное определение.

я вспомнил то, что Вы про определения ниже написали. Просто из-за удобства упомянул, о котором Вы тоже пишите:

Someone писал(а):

Неудобно, конечно, и когда таких оговорок стало уж слишком много, кому-то (скорее всего, многим) пришла в голову здравая идея немного откорректировать определение.

[Andrey173]

Если среди этих 15 чисел нету единицы, то задача похожа на верную)

[alex1910]

VAL в сообщении #433535 писал(а):

PS: Впрочем, если вопрос вынести на всенародный референдум, единицу, конечно, признают простым. В отличие от двойки, например, или числа 37

Поясните народную логику, пожалуйста.

Ну, с двойкой понятно - "четное не может быть простым":)
А чем народу 37 не угодило? "Не может быть простым, так как слишком большое"?

Или вся логика в том, что логики нет (применительно к народным рассуждениям)?