Об (ир)рациональности чисел.

[Nikkil]

$\sqrt[2]{c^3}$, $\sqrt[3]{c^3}$,
$ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$, где $c$ - рациональное число.

Действительно ли хотя бы одно из вышеуказанных чисел иррационально?
И возможно ли, что все они могут быть рациональными, если $c$ - иррационально?

Наверно вопрос глупый, но сформулировал как мог.
Заранее благодарен.

[AKM]

Про $\sqrt[3]{c^3}$ Вы хорошо подумали? А заголовок я изменю на более информативный. Волею пославшей меня администрации.

[Nikkil]

AKM в сообщении #430297 писал(а):

Про $\sqrt[3]{c^3}$ Вы хорошо подумали? А заголовок я изменю на более информативный. Волею пославшей меня администрации.

Это для большей так сказать информативности, хотя конечно и избыточно или убрать?

[AKM]

Смотрите сами.

Nikkil в сообщении #430293 писал(а):

И возможно ли, что все они могут быть рациональными, если $c$ - иррационально?

Малость исковеркаю цитату, оставив смысл:

Цитата:

И возможно ли, что все числа $c\sqrt[2]{c}$, $c$, $ \ldots$ могут быть рациональными, если $c$ - иррационально?

[Nikkil]

Переформулирую:
$c$ - рациональное число.

Могут ли быть рациональны все три числа:

$\sqrt[2]{c^3}$,$ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$.
Заранее благодарен.

Если $c^3 = s^6$, где $s$ - рациональное, то $\sqrt[2]{c^3} = s^3 $, это понятно, а вот $ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$ ( соответственно $ \sqrt[2]{s^6 + 1}$,$\sqrt[3]{s^6 + 1}$) - непонятно.

[Sonic86]

А решать в лоб не пробовали. Вот Вы случай $\sqrt[3]{c^2}$ разобрали, получили некоторое ограничение на $c$ ($c=s^2$). Разберите аналогично другие случаи, получите систему ограничений, вот ее и будете решать потом.

[mkot]

Nikkil в сообщении #430357 писал(а):

Переформулирую:
$c$ - рациональное число.

Могут ли быть рациональны все три числа:

$\sqrt[2]{c^3}$,$ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$.
Заранее благодарен.

Если $c^3 = s^6$, где $s$ - рациональное, то $\sqrt[2]{c^3} = s^3 $, это понятно, а вот $ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$ ( соответственно $ \sqrt[2]{s^6 + 1}$,$\sqrt[3]{s^6 + 1}$) - непонятно.

Могут, пусть $c = 0$.

[Nikkil]

Да вот как раз таки и не знаю как подступиться то.
К примеру $a$ - рациональное (ненатуральное), $\sqrt[2]{a^2+1}$ - также рациональное (в том смысле, что может быть рациональным).
А здесь вот не понимаю.

-- Сб апр 02, 2011 16:11:13 --

mkot в сообщении #430383 писал(а):

Могут, пусть $c = 0$.

Нет в условии только $c>0$.
Извините, что сразу не предусмотрел. Да и вроде бы у нас натуральные начинаются с 1, или с 0?

[Алексей К.]

Натуральные числа у нас (в РФ) начинаются с единицы, но о них в условии не упоминалось.

[Sonic86]

Блин
$\left\{ \begin{array}{lll} \sqrt[2]{c^3} = x\\ \sqrt[2]{c^3 + 1} = y \\ \sqrt[3]{c^3 + 1} = z \end{array} $
Решайте дальше. Сначала упростите каждое уравнение в отдельности. Затем внимательно на них посмотрите.

Nikkil писал(а):

К примеру $a$ - рациональное (ненатуральное), $\sqrt[2]{a^2+1}$ - также рациональное (в том смысле, что может быть рациональным).

А тут достаточно пифагоровы тройки вспомнить.

[ИСН]

Я не особо вникал, но мы там в большую теорему Ферма (для 3) нигде ещё не упёрлись?

[Алексей К.]

$\sqrt[3]{c^3+1}$ не может быть рационально при рациональном $c$ по теореме Ферма.

[Sonic86]

ИСН писал(а):

Я не особо вникал, но мы там в большую теорему Ферма (для 3) нигде ещё не упёрлись?

А вроде нет. Может без нее получится..., еще же ограничения даны

-- Сб апр 02, 2011 19:15:29 --

Пожалуй да, без ВТФ(3) тяжеловато...

[Nikkil]

Здравствуйте, привел цепочку к такому виду:

Могут ли быть рациональны все указанные числа:

$c$, $c^2$, $\sqrt[2]{c^2+1}$, $\sqrt[3]{c^2}$, $ \sqrt[3]{c^2 + 1}$

где $c>0$ и рациональное.

Заранее благодарен.

[Sonic86]

Попробуйте сделать как Вам уже предлагали выше.
Опять же, потребуется ВТФ(3), сразу все сводите к ней.