2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Об (ир)рациональности чисел.
Сообщение02.04.2011, 11:49 
$\sqrt[2]{c^3}$, $\sqrt[3]{c^3}$,
$ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$, где $c$ - рациональное число.

Действительно ли хотя бы одно из вышеуказанных чисел иррационально?
И возможно ли, что все они могут быть рациональными, если $c$ - иррационально?

Наверно вопрос глупый, но сформулировал как мог.
Заранее благодарен.

 
 
 
 Re: Подскажите
Сообщение02.04.2011, 11:59 
Аватара пользователя
Про $\sqrt[3]{c^3}$ Вы хорошо подумали? А заголовок я изменю на более информативный. Волею пославшей меня администрации.

 
 
 
 Re: Подскажите
Сообщение02.04.2011, 12:15 
AKM в сообщении #430297 писал(а):
Про $\sqrt[3]{c^3}$ Вы хорошо подумали? А заголовок я изменю на более информативный. Волею пославшей меня администрации.


Это для большей так сказать информативности, хотя конечно и избыточно или убрать?

 
 
 
 Re: Об (ир)рациональности чисел.
Сообщение02.04.2011, 13:35 
Аватара пользователя
Смотрите сами.
Nikkil в сообщении #430293 писал(а):
И возможно ли, что все они могут быть рациональными, если $c$ - иррационально?
Малость исковеркаю цитату, оставив смысл:
Цитата:
И возможно ли, что все числа $c\sqrt[2]{c}$, $c$, $ \ldots$ могут быть рациональными, если $c$ - иррационально?

 
 
 
 Re: Об (ир)рациональности чисел.
Сообщение02.04.2011, 14:23 
Переформулирую:
$c$ - рациональное число.

Могут ли быть рациональны все три числа:

$\sqrt[2]{c^3}$,$ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$.
Заранее благодарен.

Если $c^3 = s^6$, где $s$ - рациональное, то $\sqrt[2]{c^3} = s^3
$, это понятно, а вот $ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$ ( соответственно $ \sqrt[2]{s^6 + 1}$,$\sqrt[3]{s^6 + 1}$) - непонятно. :-(

 
 
 
 
Сообщение02.04.2011, 14:30 
А решать в лоб не пробовали. Вот Вы случай $\sqrt[3]{c^2}$ разобрали, получили некоторое ограничение на $c$ ($c=s^2$). Разберите аналогично другие случаи, получите систему ограничений, вот ее и будете решать потом.

 
 
 
 Re: Об (ир)рациональности чисел.
Сообщение02.04.2011, 15:05 
Аватара пользователя
Nikkil в сообщении #430357 писал(а):
Переформулирую:
$c$ - рациональное число.

Могут ли быть рациональны все три числа:

$\sqrt[2]{c^3}$,$ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$.
Заранее благодарен.

Если $c^3 = s^6$, где $s$ - рациональное, то $\sqrt[2]{c^3} = s^3
$, это понятно, а вот $ \sqrt[2]{c^3 + 1}$,$\sqrt[3]{c^3 + 1}$ ( соответственно $ \sqrt[2]{s^6 + 1}$,$\sqrt[3]{s^6 + 1}$) - непонятно. :-(

Могут, пусть $c = 0$.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2011, 15:09 
Да вот как раз таки и не знаю как подступиться то. :-(
К примеру $a$ - рациональное (ненатуральное), $\sqrt[2]{a^2+1}$ - также рациональное (в том смысле, что может быть рациональным).
А здесь вот не понимаю.

-- Сб апр 02, 2011 16:11:13 --

mkot в сообщении #430383 писал(а):
Могут, пусть $c = 0$.


Нет в условии только $c>0$.
Извините, что сразу не предусмотрел. Да и вроде бы у нас натуральные начинаются с 1, или с 0?

 
 
 
 
Сообщение02.04.2011, 15:36 
Натуральные числа у нас (в РФ) начинаются с единицы, но о них в условии не упоминалось.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2011, 15:36 
Блин
$\left\{
\begin{array}{lll}
\sqrt[2]{c^3} = x\\
\sqrt[2]{c^3 + 1} = y \\
\sqrt[3]{c^3 + 1} = z
\end{array}
$
Решайте дальше. Сначала упростите каждое уравнение в отдельности. Затем внимательно на них посмотрите.

Nikkil писал(а):
К примеру $a$ - рациональное (ненатуральное), $\sqrt[2]{a^2+1}$ - также рациональное (в том смысле, что может быть рациональным).

А тут достаточно пифагоровы тройки вспомнить.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2011, 15:38 
Аватара пользователя
Я не особо вникал, но мы там в большую теорему Ферма (для 3) нигде ещё не упёрлись?

 
 
 
 Re: Об (ир)рациональности чисел.
Сообщение02.04.2011, 15:40 
$\sqrt[3]{c^3+1}$ не может быть рационально при рациональном $c$ по теореме Ферма.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2011, 15:48 
ИСН писал(а):
Я не особо вникал, но мы там в большую теорему Ферма (для 3) нигде ещё не упёрлись?

А вроде нет. Может без нее получится..., еще же ограничения даны :roll:

-- Сб апр 02, 2011 19:15:29 --

Пожалуй да, без ВТФ(3) тяжеловато...

 
 
 
 
Сообщение06.04.2011, 09:02 
Здравствуйте, привел цепочку к такому виду:

Могут ли быть рациональны все указанные числа:

$c$, $c^2$, $\sqrt[2]{c^2+1}$, $\sqrt[3]{c^2}$, $ \sqrt[3]{c^2 + 1}$

где $c>0$ и рациональное.

Заранее благодарен.

 
 
 
 Re: Об (ир)рациональности чисел.
Сообщение06.04.2011, 09:28 
Попробуйте сделать как Вам уже предлагали выше.
Опять же, потребуется ВТФ(3), сразу все сводите к ней.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group